本篇文章是由《教育探索》發(fā)表的一篇教育論文，1981年創(chuàng)刊，主辦(主管)單位，黑龍江省教育科學(xué)研究院。以宣傳普通教育、職業(yè)教育、成人教育和學(xué)前教育為重點(diǎn)。讀者對(duì)象為中小學(xué)校長(zhǎng)、教師、教育行政領(lǐng)導(dǎo)、教育研究部門科研人員等。
摘 要 本文首先給出了曲率線和測(cè)地線的基本概念和幾何性質(zhì)，揭示了曲率線和測(cè)地線之間的關(guān)系，以計(jì)算不同曲面的曲率線和測(cè)地線來分析其積分算法，為深入研究NURBS曲面上曲率線和測(cè)地線的積分算法奠定了一定基礎(chǔ)。
關(guān)鍵詞 曲率線 測(cè)地線 曲率 積分 NURBS曲面
1 曲率線和測(cè)地線的基本概念
1.1 曲率線
曲面上一點(diǎn)的兩個(gè)方向，如果它們既正交又共軛，則稱為曲面在點(diǎn)的主方向。
設(shè)這兩個(gè)方向是() = ：，() = ：，由于正交性，，即 + ( + ) + = 0。
曲率線：曲面上的一條曲線，如果其上每一點(diǎn)的切向正好時(shí)曲面在該點(diǎn)的主方向，這條曲線就是曲率線。
由定義可知，對(duì)于已給曲面 = ()上的曲率線由
或者微分方程
() + () + () = 0
(1.1)
決定，這方程確定了曲面上兩族曲率線，組成曲面上的曲率線網(wǎng)。
其中 (1.2)
是曲面 = ()的第一基本量，
是曲面 = ()的第二基本量。
1.2 測(cè)地線
給出一個(gè)曲面：，()是曲面上的一條曲線：
其中是()的自然參數(shù)。設(shè)是()上一點(diǎn)，是()在點(diǎn)的單位切向量，是主法向量，是副法向量。再設(shè)是曲面在點(diǎn)的單位法向量，€%z是與的夾角，則曲面在點(diǎn)的切方向上的法曲率是。
命，則是彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成右手系。
曲線()在點(diǎn)的曲率向量在上的投影，
，稱為曲線在點(diǎn)的測(cè)地曲率。
曲面上的一條曲線，如果它的每一點(diǎn)處的測(cè)地曲率為零，則稱該曲線為測(cè)地線。測(cè)地線的微分方程是
2 曲率線與測(cè)地線的幾何性質(zhì)
2.1 曲率線的幾何性質(zhì)
定理1 曲面上一曲率線為平面曲線的充要條件是沿€%<的法線曲面為柱面。
證明：設(shè)，€%< ： = ()， = ()(為的弧長(zhǎng))，
則沿€%<的法線曲面方程為：。
因?yàn)橹娴某湟獥l件是，即常矢，有，所以。即€%<為平面曲線。
定理2 若沿曲率線€%<的發(fā)現(xiàn)曲面1是一條曲線€%<1的切線曲面，則€%<1的方程為：，其中()為在點(diǎn)處的主曲率。
證明：因?yàn)?是€%<1的切線曲面，所以
€%<11，又1是沿€%<的法線曲面，所以€%<1，且于是存在一數(shù)量函數(shù)()使。
對(duì)求導(dǎo)，
而，所以
由于，所以 = 0，即= 1 /
故。
2.2 測(cè)地線的幾何性質(zhì)
曲面上的一條曲線，如果它的每一點(diǎn)處的測(cè)地曲率為零，則稱該曲線為測(cè)地線。測(cè)地線的微分方程是：
曲面上上的坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)時(shí)，曲面上測(cè)地線方程為：
由于曲面上的法曲率和側(cè)地?fù)下实扔嘘P(guān)概念都是由曲面在中的形狀決定的，所以漸近線和曲率線等有關(guān)概念都不是曲面上內(nèi)蘊(yùn)幾何的概念，但是測(cè)地曲率是曲面在保長(zhǎng)變換下的不變的量，所以測(cè)地曲率 = 0的曲線是內(nèi)蘊(yùn)幾何的概念。
2.3 測(cè)地線的存在性
由測(cè)地線的定義，我們可以知道，平面曲線的測(cè)地曲率就是它的相對(duì)曲率，所以平面上的測(cè)地線就是直線。測(cè)地線的概念是平面上的直線的概念在曲面上的推廣，下面我們就來說明這種推廣的含義。
曲面上一條去現(xiàn)實(shí)測(cè)地線，當(dāng)且僅當(dāng)它是直線，或者它的主法向量處處是曲面的法向量。
證明：我們知道其中是曲線的次法向量和曲面的法向量的夾角由此可見 = 0的條件是 = 0或者。若 ≡ 0，則該曲線是直線，若≠0則，于是即曲線的主法向量是曲面的法向量。現(xiàn)在我們考慮測(cè)地線的微分方程。由學(xué)過的知識(shí)我們可知。
因此≡0的充要條件是
(1)
這就是測(cè)地線所滿足的微分方程。
若引進(jìn)新的未知函數(shù)，則方程組(1)便降價(jià)成為一階常微分方程組：
這是擬線性常微分方程組，根據(jù)常微分方程組的理論，對(duì)于任意給定的初值，必有>0，使得方程組上述方程組有定義在區(qū)間(-，)上的唯一解 = ，滿足初條件
如果初值(，)滿足條件 (，) = 1
則上面給出的解 = 是曲面上以為弧長(zhǎng)參數(shù)的一條曲線。實(shí)際上，如果命= (，)
則
并且 (0)≡0，所以 ≡0
即是曲線 = 的弧長(zhǎng)參數(shù)。
3 曲面上曲率線與測(cè)地線的積分算法
3.1 曲面上的曲率線求法
3.1.1 雙曲面的曲率線
我們對(duì)雙曲面 = 進(jìn)行積分算法求出曲率線
= ， = ， = ， = 0， = ， = 0， = 1 + = 1 + ， = = ， = 1 + ， = 0， = 0。
曲率線的微分方程為
化簡(jiǎn)得 = 積分得
即
故所求曲率線為
3.1.2 螺旋面的曲率線
螺旋面上的曲率線
由題可知 = 1， = 0， = + ， = 0，， = 0，
曲率線的微分方程為，
即 + ( + ) = 0，化簡(jiǎn)得，積分得即
故所求曲率線為
3.2 曲面上的測(cè)地線求法
3.2.1 NURBS曲面上測(cè)地線算法
曲面上的曲線C可以用參數(shù)方程
來表示，這里的是曲線參數(shù)。弧長(zhǎng)的微分形式如下：
= + 2 +
于是曲面上一條曲線的長(zhǎng)度可知，為
(1.4)
這里、是參數(shù)、分別對(duì)的偏導(dǎo)。，，是曲面的第一基本量
，是曲面對(duì)參數(shù)、的偏導(dǎo)數(shù)。
在局部范圍內(nèi)，測(cè)地線是連接兩點(diǎn)曲線中弧長(zhǎng)最短的曲線。尋找一條曲線，構(gòu)造，，使得(1.4)式中的L最小。這樣我們就得到了一條測(cè)地線。函數(shù)，應(yīng)該滿足
(1.5)
這里
上式中我們選擇弧長(zhǎng)s作為參數(shù)，(1.5)式可由以下一對(duì)非線性微分方程的形式表達(dá)
其中
式中是曲面在點(diǎn)(u，v)的單位法向量
是曲面方程對(duì)，的二次混合偏導(dǎo)，測(cè)地線軌跡可用以下四個(gè)一次微分方程
在過點(diǎn)(，)以及有初切向的初始條件下，通過Rung-Kutta法迭代求出唯一解，給定曲面上一點(diǎn)和方向，通過自適應(yīng)迭代步長(zhǎng)的選擇，可自動(dòng)求解出一條測(cè)地線。
3.2.2 求圓柱面的測(cè)地線
解：在圓柱面
= + ，測(cè)地線的方程量： = 0， = ， =
故 = + ，為常數(shù)，為積分常數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量式參數(shù)方程量。
3.2.3 求球面上的測(cè)地線
解：對(duì)于半徑為的球面上的大圓弧，熟知： = ，法曲率 = €?，于是測(cè)地曲率 = €?= 0，從而球面上的大圓弧是測(cè)地線。
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