一、逆向思維的涵義、特點和表現

當面臨一個問題時,人們習慣的沿著事物發展的正方向去思考解決問題,殊不知,對于某些問題,尤其是一些特殊問題,讓思維向對立面的方向發展,從問題的相反面進行深入的探索和研究,往往可以使問題變得簡單,出奇制勝,這就是逆向思維所蘊含的魅力,尤其是在數學解題中更是得到了淋漓盡致的展示。逆向思維在數學中的表現有以下幾點:

1、表現逆向思維的數學知識——逆定理。定理是數學知識的重要組成部分,但是光掌握定理的成立條件與內容對于職業學校的學生來說是還是不夠的,如何去獲取新知識呢？可以說,獲取新知識最簡單的方法莫過于學習逆定理。而這逆定理的“逆”與逆向思維的“逆”在這里就不謀而合了。

2、表現逆向思維的數學方法——反證法和排除法。對于證明題而言,很多時候在特定的場合找不到直接的證明來源,這時可以先提出與結論相反的假設,然后從這個假設出發,合乎邏輯地推出一個矛盾結果,由此斷定與結論相反的命題不成立,從而肯定原命題的正確性,這種證明方法就是反證法。而排除法顧名思義就是通過排除不符合題目的假設,從而順利解決問題。這兩種方法都不同程度的表現了逆向思維的內涵。

3、表現逆向思維的數學策略——正難則反。在數學學習過程中,學生常會遇到各種各樣的難題。的確,有些數學題目用正向思維去解決,不僅比較困難、工作量大,而且容易出錯,這時候就需要從問題的相反方向入手,運用逆向思維去重新認識這個題目。這種“正難則反”的解題策略往往會產生出其不意的效果。例1:從8名男同學4名女同學中選3人參加朗誦比賽,至少有1名女生的選法有多少種？分析:這個題目如果從正面來考慮,至少有1名女生參加可分三類考慮,第一類恰有1名女生,第二類是恰有2名女生,第三類是有3名女生,討論起來復雜,這時候就需要用逆向思維解決這道題,至少有1名女生的對立面就是沒有1名是女生而全是男生,這時候問題就變得簡單多了。解:2205616438312cc==

二、如何在職業學校數學教學中培養學生逆向思維的能力

傳統的數學教育是以教師灌輸知識技能為主,往往缺乏對學生進行逆向思維的訓練。因此,學生解決問題習慣于正向思維,但新課程背景下更注重發展學生的創新思維,培養創新精神,形成全方位、多角度思考問題的額體系,因此如何在數學教學中培養學生的逆向思維能力就被置于一個更加重要的位置。

1、創設問題情境,促進智力探索形成氛圍

《新課程標準》中指出:數學教學必須要注意從學生的生活經驗和感興趣的事物出發,為他們提供參與的機會,從而對數學產生親切感,尤其是面對低年級學生,我們更要創設一些有趣的問題情境,激發學生的學習興趣,從而引發學生的逆向思考。例如:在教學《二項式定理》這一節內容時,教師一開始就寫出2(a+b),這時候學生們都會寫出它的展開式,然后教師提出n(a+b)中這個n不管是多少我都可以知道它的展開式多少項,分別是多少。這個時候學生就會提出疑問:為什么老師這么快就可以算出來呢,是不是有什么秘訣？這樣很自然的就引入了課題。

2、注重教學概念、定義的逆向性

定義是對一個名詞進行說明,從而使得數學概念和語言緊密聯系起來,揭示出事物的本質特征,而概念是反映對象特有屬性的思維模式,是構成判斷、推理的要素。因此,在教學中除了學生理解概念本身及常規應用以外,還要善于引導啟發學生從相反方向思考問題,從而加深對概念的理解和拓展,最終形成推理能力和計算的技能技巧。例如:在教學《奇函數定義及圖像》時,首先講解奇函數的定義:對于函數f(x)的定義域中任意一個x,都有f(x)=f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數。針對這個定義要求學生們理解:如果函數滿足f(x)=f(x),則函數為奇函數,且函數圖像關于x軸對稱,而另一方面,如果一個函數的圖像時關于x軸對稱,則可說明這個函數是奇函數f(x)=f(x)這就是從定義、概念的反方向思考問題。

3、注重教學公式、運算法則的逆向性

數學中的公式及運算法則是數學知識體系的最基本的部分,是解決其它數學問題的橋梁。因此,在講授公式及運算法則的時候,教師要注意訓練學生逆用公式、運算法則的基本動。講完后,要通過一些公式逆用的例子,以此加深學生們對公式、運算法則的理解,給學生一個更為深刻的印象。例如:在教學《三角函數的倍角公式》這一節內容時候,教師除了要講解cos2a=aaaa2222cossin=2cos1=12sin之后,必須從逆方向繼續講解這個公式,從而得到21cos2sin21cos2cos22aaaa=+=而,這兩個公式有著更為廣泛的運用,在很多考察三角函數的題目中,常常利用它們作為橋梁,通過降冪的方法來解答三角函數的題目。

4、注重教學中定理的逆向性

定理是數學知識的重要組成部分,是判斷是非、邏輯推理的依據,是進一步解決數學問題的銳利武器,只有熟練掌握定理的成立條件與內容,才能產生正確的思考方法和形成簡潔的解題技巧。要想熟練掌握定理,就必須從正反兩個方向去理解定理,雖然每個定理都有逆命題,但并不是每個逆定理都是成立的,經過證明是成立的逆命題就成為逆定理。重視逆定理的運用,不僅可以開拓學生的思維,還可以培養他們嚴謹的數學思想品質。例如:對于《勾股定理》大家都很熟悉定理內容:如果直角三角形的兩個直角邊分別為a,b斜邊為c,則這個三角形的三條邊的邊長滿足222a+b=c。這個定理的逆命題是,已知三角形的三條邊的邊長滿足222a+b=c,則這個三角形就是直角三角形。通過證明我們發現這個命題是成立的,那么這個命題就是勾股定理的逆定理。

三、結語

培養學生逆向思維可以讓學生的思維更加敏捷、靈活及深刻,使學生在遇到難題時積極主動地去尋求新的解決途徑。這不僅能提高他們的實際解題能力,更重要的是能夠改善職業學校學生學習數學的思維方式,有助于他們形成良好的思維習慣,逐步形成創新思維,最終使得整個素質得到很大程度的提高。

作者：徐冰 單位：淮安生物工程高等職業學校