基于R-L 分數階導數的動態J-A 磁滯模型及其特征參數辨識算法

　　摘要：在高頻、直流偏磁等非標準磁化條件下，電力變壓器的鐵心損耗顯著增加，造成其性能惡化。為了實現對高頻、直流偏磁下鐵磁材料動態磁滯特性與損耗的準確模擬，本文首先在靜態 J-A 模型中引入直流磁密，推導得到適用于描述直流偏磁條件下鐵磁材料磁滯特性的靜態 J-A 修正模型;然后引入 R-L 型分數階導數對高頻條件下渦流場及渦流損耗表達式進行改進，考慮渦流與剩余損耗對高頻條件下磁化物理機制的影響，建立動態 J-A 模型;最后引入模擬退火算法，以損耗計算值與實測值之間的均方根誤差最小化作為優化算法的目標函數，辨識模型中阻尼系數與分數階導數階次的全局最優值。將動態 J-A 模型模擬的磁滯回線和損耗與實驗數據進行對比，結果表明：對高頻磁場疊加直流偏磁條件下磁滯回線面積模擬誤差為 7.84%，損耗預測的平均絕對誤差為 7.35%，驗證了本文所提方法的準確性。

　　關鍵詞：鐵磁材料;直流偏磁;高頻磁化;動態 J-A 磁滯模型;分數階導數

　　陳彬; 秦小彬; 唐波; 劉任; 張建功; 萬妮娜， 中國電機工程學報 發表時間：2021-10-29

　　0 引言

　　隨著大量非線性負荷接入電網，電力變壓器更加頻繁地工作在高頻、直流偏磁等工況下[1-2]。電工鋼等鐵磁材料被廣泛應用于電力變壓器鐵心。在直流偏磁條件下，鐵磁材料呈現復雜的非線性、非對稱磁滯特性，并且隨著頻率的增加，其損耗增大，導致電力變壓器散熱性能、效率降低，甚至發生損壞[3-4]。因此，精確模擬高頻、直流偏磁條件下鐵磁材料的磁滯效應和損耗特性，對于電力變壓器結構優化設計具有重要意義[5]。

　　目前，國內外學者針對直流偏磁下鐵磁材料的磁滯效應和損耗特性開展了大量研究工作。文獻[6] 通過對鐵氧體在直流偏磁條件下的損耗進行分析，將 Steinmetz 公式中的經驗系數修正為關于直流磁通與交流磁通的函數，實現了直流偏磁下損耗計算。張艷麗等人在 Steinmetz 公式中引入可變系數，通過該系數來描述直流偏磁對損耗的影響，進而預測直流偏磁條件下的損耗[7]。上述研究均為經驗公式法在直流偏磁條件下鐵心損耗預測中的具體應用，此類模型本質上屬于現象學模型，經驗系數的獲取依賴于對大量實驗數據的擬合，模型本身無法描述鐵磁材料的磁滯效應。

　　基于物理現象的磁滯模型法可以將材料微觀物理量和外界磁場激勵下的宏觀磁化現象關聯起來，得到宏觀場量的控制方程。當前應用較為廣泛的磁滯模型包括 Preisach 模型、Energetic 模型、 Jiles-Atherton(J-A)模型等。文獻[8]基于 Preisach 模型，以及取向硅鋼片靜態直流偏磁極限磁滯回線實測數據，采用數值方法生成具有非對稱特性的一階回轉曲線，考慮直流偏磁磁場和交流磁通密度對剩余損耗的影響，構建直流偏磁條件下動態 Preisach 模型，實現了直流偏磁下硅鋼片損耗特性模擬。但是，Preisach 模型忽略了鐵磁材料微觀物理規律，而且模型參數的識別較復雜且計算耗時。文獻 [9-10]基于損耗統計理論與場分離理論，將渦流損耗和剩余損耗與靜態 Energetic 磁滯模型相結合得到以磁通密度 B 為輸入，磁場強度 H 為輸出的動態 Energetic 模型，用于描述不同交流頻率、直流偏磁條件下鐵磁材料的磁滯回線與鐵心損耗。然而上述研究并未考慮直流分量對磁化過程的影響，進而從磁化物理基礎出發推導獲得直流偏磁條件下 Energetic 磁滯修正模型。基于未修正 Energetic 磁滯模型模擬動態直流偏磁磁滯特性方法的普遍適用性還需要通過大量研究及實驗得到驗證。清華大學曹林等從經典 J-A 磁滯理論出發，以能量平衡原理為依據，考慮了鐵心的渦流損耗和剩余損耗，研究了直流偏磁條件下電力變壓器鐵心的動態磁滯特性[11]。

　　近年來，有學者將分數階微積分理論應用于動態磁滯建模，比如 2017 年 B. Ducharne 等人將分數階導數引入鐵磁材料的渦流場計算中，實現了鐵磁材料在高頻條件下動態磁滯回線的精確模擬[12]; 2018 年 B. Zhan 等人分別將 J-A 磁滯模型、Preisach 模型與分數階導數結合，用于鐵磁材料的動態磁滯回線模擬與損耗計算[13-14];2020 年 R. Liu 等人基于分數階導數實現對損耗分離理論框架下渦流損耗項的改進，并與靜態 Energetic 模型結合實現了對硅鋼材料高頻損耗的精確預測[15]。然而，上述分數階微積分理論的應用僅局限于正弦激勵下鐵磁材料的磁滯模型的修正，其在直流偏磁工況下的有效性還有待商榷;此外，分數階導數的參數辨識方法(階數 n 與阻尼系數 ρ)是根據低頻和高頻條件下的磁滯回線數據通過試湊得到，得到的參數值并不能保證為全局最優值。

　　針對上述存在問題，本文在靜態 J-A 模型基礎上，引入直流磁密分量，推導得到直流偏磁下靜態 J-A 磁滯修正模型。進一步通過引入 R-L 分數階導數實現對傳統渦流場與渦流損耗表達式的改進。基于損耗分離理論并結合靜態 J-A 磁滯修正模型與改進渦流場、渦流損耗表達式，建立了直流偏磁和高頻條件下改進動態 J-A 模型與損耗計算表達式。搭建磁性能測試系統獲得不同頻率、直流偏磁下電工鋼磁特性與損耗特性數據，基于實測數據，并引入模擬退火算法實現對特征參數(分數階導數階數 n 與阻尼系數 ρ)的辨識。最后通過與實驗數據及傳統 J-A 模型建模方法的對比，驗證了本文所提模型的正確性。

　　1 傳統 J-A 磁滯建模理論

　　1.1 靜態 J-A 磁滯模型

　　靜態 J-A 磁滯模型以磁疇理論為基礎，通過考慮磁疇壁位移與取代以及能量平衡原理來描述磁化強度和磁場強度之間的關系[16]。鐵磁材料的無磁滯磁化特性可以由 Langevin 函數進行表征：? ? an s e e M M H a a H ? ? ? ? coth ? ? (1) 式中：Man 為無磁滯磁化強度;Ms 為飽和磁化強度; a 為無磁滯磁化曲線形狀參數;He為有效磁場強度，其表達式為： H H M e sat ? ?? (2) 式中：H 為外加磁場強度;?為磁疇內部耦合平均場參數;Msat 為靜態條件下磁化強度，可分解為可逆磁化強度 Mrev 與不可逆磁化強度 Mirr，即： M M M sat rev irr ? ? (3) 其中，Mrev 與磁化過程中磁疇壁彎曲相關，Mirr 與磁疇壁位移和取代相關，其關于有效場 He 的微分方程表示為： irr an irr e d ( ) d M M M M H k ???? (4) 式中： M ?為防止非物理解的出現而定義的方向系數，如式(5)所示;k 為牽制系數;?為方向系數，當 d d 0 H t ?時，? ?1 ;反之，? ??1。

　　考慮到磁通密度相對于磁場強度變化較為緩慢，不易發生畸變，將 e 0 d d =1 ( 1)d d H B M B ? ? ? ?代入式(7)，推導以磁通密度 B 為輸入量，磁場強度為 H 為輸出的逆靜態 J-A 磁滯模型的磁化強度微分方程[17]： M sat an 0 M an sat e d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d an an sat e M M M ck M H B M M M ck k H ? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? (8)

　　1.2 動態 J-A 磁滯模型

　　根據損耗分離理論，鐵磁材料的總損耗 W 可分解為磁滯損耗Whys、渦流損耗Wed與剩余損耗Wex [18]： W W W W ? ? ? hys ed ex (9) 低頻條件下，集膚效應可忽略，沿疊片厚度方向的磁場強度均勻分布，此時渦流損耗的表達式為： 2 2 ed 0 d ( ) d 12 d d B T W t t ?? ? (10) 式中：?為磁性材料電導率;d 為疊片厚度;T 為磁化周期;B 為磁通密度。

　　根據磁疇結構的隨機統計分布特性，得到剩余損耗的表達式為： 1.5 ex 0 0 d d d T B W GSV t t ? ? ? (11)式中：S 為疊片橫截面積;G 為無量綱常數， G=0.1375;V0 為損耗統計參數。基于場分離技術，總損耗可以進一步表示為： hys ed ex 0 0 0 hys ed ex 0 ( )d d d ( ( ) ( ) )d T T T T W H B B W W H B H B H B ? ? ?? ? ?? ? ?? (12) 式中：Hhys 為磁滯損耗對應磁場分量，可以由靜態 J-A 模型得到;Hed 和 Hex分別為與頻率相關的渦流場與剩余損耗場，表達式為： 2 ed d 12 d d B H t ?? (13) 0.5 ex 0 d d B H GSV t ? ? ? (14) 式中：?為符號函數，當 d d 0 B t ?時，? ?1 ;當 dB dt ? 0 時，? ??1。將渦流場 Hed 與剩余損耗場 Hex 的表達式代入靜態 J-A 模型有效場 He的表達式(2)[19]： dyn e ed ex H H H H ? ? ? ( ) (15) 式中：Hdyn 為含動態場的有效磁場。進一步得到動態磁化微分表達式： dyn M an_dyn dyn dyn dyn dyn 0 M an_dyn dyn dyn d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d M M M ck M H B M M M ck k H ? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? (16) 式中：Man_dyn為含動態有效磁場 Hdyn 的無磁化曲線表達式;Mdyn 為含動態有效磁場 Hdyn 的動態磁化強度。

　　2 高頻疊加直流偏磁條件下 J-A 磁滯模型

　　2.1 直流偏磁下靜態 J-A 模型修正

　　在直流偏磁工況下，鐵磁材料受到直流磁密與交流磁密共同作用，產生的實際總磁密 Bs 如式(17) 所示。當交流磁密 Bac與直流磁密 Bdc同向疊加時，鐵磁材料磁場迅速進入半周正向飽和;當二者反向，直流磁密降低磁場反向飽和值，導致磁滯回線呈現正負半周不對稱狀態，如圖 1 所示。

　　由于直流磁密 Bdc 無法通過試驗測量系統直接獲取，本文提出基于無偏磁磁滯回線族與插值法快速提取直流磁通密度的方法。即：

　　1)將實驗易于測量的無偏磁磁滯回線族作為已知數據，連接各磁滯回線首尾兩點獲取主磁滯回線單值 B-H 曲線[5](上升支與下降支間的曲線);

　　2)將主磁滯回線單值 B-H 曲線正半周對應曲線近似等效為偏磁條件下 Bt-HM曲線;

　　3)獲取任意直流偏磁量 Hb、交流磁通密度 Bac 的磁滯回線對應最大磁場強度 HM，并導入單值 B-H 曲線，基于插值法獲取 HM對應最大磁密 Bt [20];

　　4)根據公式(17)，提取任意偏磁條件下磁通密度 Bdc。

　　為了考慮直流偏磁對鐵磁材料磁化過程的影響，對靜態 J-A 模型的能量平衡方程，以及 Langevin 方程(無磁滯磁化曲線)、有效磁場強度、磁通密度的公式進行修正。

　　通過引入直流磁密 Bdc，推導出直流偏磁下磁化強度 Mbias 修正式為： bias s 0 dc ac 0 dc ac ( ) ( ) ( ) ( ) M t B t H B B t H M M t ? ? ? ? ? ? ?? ? (18) 式中：Mdc 為直流磁化強度分量;Mac 為交流磁化強度分量。直流偏磁下有效磁場 He_bias 修正式為： s e_bias bias 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) B t H t M t ??? ? ? (19) 將修正式(17)至式(19)代入靜態 J-A 模型，得到直流偏磁下修正靜態 J-A 模型系列公式為： s ac dc bias ac dc e_bias bias 0 e_bias ant_bias s e_bias 0 ant_bias e_bais 0 bais e_bias 0 irr ant_bias bias ant_bias bias ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) coth( ) d d d d ( ) d d d s M M M B t B t B M M t M B t H M t H a M M a H M H M H k M M M M ck M H B ??? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? e_bias ant_bias 0 bias ant_bias e_bias d (1 )( ( ) ) d M M M M ck k H ? ? ? 式中：Mant_bias 為直流偏磁下無磁化曲線表達式。

　　2.2 基于 R-L 分數階導數改進的動態 J-A 模型修正??

　　傳統損耗分離理論的渦流損耗表達式中含有瞬時磁通密度對時間的整數階導數。整數階導數的局部極限定義不適用于描述非局部、頻率、歷史等依賴性過程，導致傳統損耗統計理論對鐵磁材料的高頻渦流損耗預測誤差較大且存在過高估算的問題[15]。為了能夠考慮渦流損耗對頻率的依賴特性，引入 Riemann-Liouville(R-L)型分數階導數，實現對高頻渦流場及渦流損耗的解析建模和計算。 ? ? ?

　　R-L 型分數階導數的具體形式如下[21]： 0 0 d ( ) 1 ( ) ( ) ( )d d (1 ) n t n n n t f t D f t t f t ? ? ???? ? ?? ? ? (21) 式中：n 為非整數階，該系數的取值范圍為 n ? (0,1) ;?() 為歐拉伽馬函數[21]。

　　R-L 型分數階定義式為分數階微分算子形式，可以考慮變量?從初始時刻 0 到當前時刻 t 的整個過程的影響，體現了分數階的時間記憶性與全局相關性的特點。這些特點使得分數階相對于整數階能夠更加精確的描述具有冪律性、非局部、頻率、路徑或歷史依賴特性的反常復雜物理現象[21]。此外， f t() 在 R-L 型分數階導數的傅里葉變換中的表達式為(jω) n ·f(ω)。由于 n 可以為任意非負實數，因而分數階微分算子可以描述對任意階頻率的依賴性，這為保證整個頻率范圍內渦流損耗計算精度提供了可能。

　　將傳統渦流場表達式與 R-L 型分數階導數(21) 相結合，推導出改進的渦流場 Hed_re 和改進渦流損耗 Wed_re 表達式為： ed_re d ( ) d n ac n B t H t ? ? (22) ac ac ed_re 0 d ( ) d ( ) ( )( )d d d n T n B t B t W t t t ? ? ? (23) 式中：?為阻尼系數，與鐵磁材料厚度、磁導率、電導率等物理參數相關;n 為分數階導數階數，與頻率-損耗曲線形狀有關[22]。綜合考慮鐵磁材料中磁導率的不確定性及磁滯損耗與剩余損耗的影響，阻尼系數?取值應大于 2 ?d 12 ，分數階導數階數 n 取值應大于 0.5[15]。

　　當交流磁密 Bac為正弦波形時，式(22)可進一步表示為： ed_re ac cos( ) 2 n n H B t ?? ? ? ? ? (24) 將改進渦流場公式(22)與傳統剩余場公式 (14)代入直流偏磁下靜態 J-A 模型系列式(20)，按照 1.2節動態 J-A磁滯模型構建過程重新推導，可以得到高頻磁場疊加直流偏磁條件下改進的動態 J-A 模型系列公式： 0.5 ac dyn e_bias 0 dyn ant_dyn s dyn 0 ant_dyn dyn 0 t dyn 0 irr ant_dyn t ant_dyn t dyn ant_dyn 0 t ant_dyn dyn d ( ) d ( ) d d coth( ) d d d d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d n n M M M M B t B H H GSV t t H a M M a H M H M H k M M M M ck M H B M M M ck H (25) 式中：He_dyn 為直流偏磁下基于 R-L 分數階導數改進動態有效磁場;Mant_dyn 為含改進有效磁場的無磁化曲線表達式;dMt/dB 為高頻磁場疊加直流偏磁條件下改進磁化強度微分表達式。

　　綜上分析，直流偏磁下基于 R-L 分數階導數改進的動態 J-A 模型建立流程如圖 2 所示。

　　2.3 特征參數辨識

　　基于 R-L 分數階導數改進的動態 J-A 模型面臨的一個關鍵問題是特征參數，即阻尼系數?與導數階次 n 的確定。當前沒有相關文獻對兩個關鍵參數提出具體的表達式。而文獻[14]提出了基于含分數階導數的動態磁滯模型模擬在正弦激勵下不同頻率的動態磁滯回線，并將一個磁密下所模擬的兩種頻率(低頻與高頻)的磁滯回線面積與矯頑力與實驗測量值做對比，確定參數?和 n 的取值。然而，這種方法所需數據量大且不能保證獲取的?和n的值為全局最優。本文引入模擬退火算法實現精確、快速辨識?和 n 全局最優值。為對優化算法的求解精度進行有效評價，本文引入對誤差極為敏感的均方根誤差作為算法的目標函數(Rf)，進而將分數階參數?和n的最優值辨識問題轉化為求解目標函數最小值的優化問題。目標函數如式(26)所示： 2 t mea 1 f ( ( ) ( )) ( , ) N i W i W i R n N ????? (26) 式中：Wt 為基于分數階導數改進動態 J-A 模型計算的損耗值;Wmea為損耗實測值;N 為不同頻率損耗實測數據點個數。

　　模擬退火算法適用于求解不同的非線性復雜問題，不僅具有較強的魯棒性、收斂性、隱含并行性和廣泛的適應性，并且不需要任何的輔助信息，對目標函數和約束函數沒有任何要求，能處理不同類型的優化設計變量(離散、連續和混合型)。雖然該算法局部尋優能力較差，但具有較強的全局搜索能力[23]。基于模擬退火算法的參數?和 n 辨識流程如圖 3 所示。

　　步驟如下：

　　1)算法基本參數設置：設置初始溫度 T0、降溫速率 v、結束溫度 Te以及 Metropolis 鏈長 L(每個溫度迭代次數)。 2 ) 初 始 解 設 置 ： 設 置 特 征 參 數 初 始 值 0 b ? ? ( , ) n ，并設置當前溫度下迭代次數 k 為 0。 3)生成新解：對當前解b0 實現一次隨機擾動，獲得一個可行新解b1，b1 與b0 滿足： 1 0 b b ? ? ? rand l (27) 式中：rand 為隨機數函數取值范圍為[-1,1];l 為計算步長。 4)Metropolis 準則：將含特征參數的損耗計算表達式的損耗計算值與實測值的均方根誤差函數計為 f(Rf)，當前解的函數值為 f(Rf(b0))，新解對應函數值為 f(Rf(b1))。新解增量記為 df(Rf(b1)-Rf(b0))，根據 Metropolis 準則，若 df<0 接受b1 為當前解，即 b0=b1;若 df>0 且 exp(-df/T)>rand，接受b1 為當前解;否則當前解保持不變。 5)降溫：迭代次數滿足：k=k+1，重復執行 k=L 次步驟 3)和步驟 4)，得到一個溫度下 Metropolis過程的一個最優解;利用降溫速率 q 降溫，根據降溫規則 T=qT，當 T

　　3 試驗驗證及結果分析

　　3.1 靜態條件下磁滯回線模擬結果

　　利用 BROCKHAUS-MPG200 電工鋼測試系統測取電工鋼樣品 27SQGD085 不同直流偏磁條件下(交流磁密 Bac 為 0.3~1.1T，測量步長為 0.1T;直流偏磁量 Hb 為 0~60A/m;頻率 f 為 5Hz、10~100Hz, 測量步長為 10Hz，150~1000Hz，測量步長為 50Hz)的磁滯回線及損耗數據[24]，樣品參數如表 1 所示。

　　根據本文 2.1 節所提方法，并利用磁滯回線測量值對直流磁密進行辨識。表 2 為部分交流磁密與直流偏磁條件下(交流磁密 Bac為 0.5、0.7、0.9T;直流場強 Hb 為 10、30、50A/m)直流磁密辨識結果。

　　基于隨機優化算法-模擬退火(SA)與確定性優化算法(L-M)的混合算法[23][25]及表 2 所示直流磁密，對直流偏磁條件下靜態 J-A 磁滯修正模型(公式(20))對應參數進行辨識。表 3 展示了 0.5T、0.7T 與0.9T不同直流分量下靜態J-A磁滯修正模型參數辨識結果。

　　根據所辨識參數，對偏磁條件下磁化頻率為 5Hz 的磁滯回線進行模擬，仿真曲線與實測磁滯回線對比如圖 4 所示。將模擬得到的磁滯回線面積積分得到偏磁條件下磁滯損耗，并與實測損耗值對比，如表 4 所示。通過圖 4 可以看出，仿真磁滯回線與實測磁滯回線較為吻合，且偏磁條件下磁滯損耗損耗預模擬值與實測值的誤差絕對值最大為 4.11%，驗證了本文所提靜態 J-A 修正模型可用于直流偏磁條件下電工鋼的靜態磁滯特性模擬及磁滯損耗計算。

　　3.2 剩余損耗統計參數和特征參數辨識結果

　　剩余損耗計算模型中的統計參數 V0(表征磁體局部磁場分布)與交流峰值磁密 Bac和直流分量 Hb有關，可以根據不同交流磁密峰值、不同直流分量下損耗實測數據通過線性回歸函數擬合得到。在正弦低頻交變磁場疊加直流偏磁分量激勵下，總損耗測量值 Wt,m(Bac,Hb)與式(10)得到的渦流損耗計算值 Wcl(Bac)之間的差值與頻率 f 的 0.5 次方滿足線性關系[15]，如式(28)所示。基于線性回歸擬合獲取 kex 值，進一步可辨識出參數 V0。 0.5 t,m ac b cl ac h ex W B H W B W k f ( , ) ( ) ? ? ? (28) 式中：Wh 為擬合獲取磁滯損耗值;kex 為剩余損耗系數， 1.5 ex 0 ac k GSV B ? 8.76 ? 。

　　利用 10Hz、30Hz、50Hz、80Hz、100Hz 下不同交流峰值磁密、不同直流分量的損耗測量值辨識 V0。以 Bac=0.5T、0.9T 為例，圖 5 給出了在不同直流分量下的線性回歸曲線。綜合分析圖 5 和表 5 可知，在相同交流峰值磁密下，隨著直流分量的增加參數 V0 也隨之增大。因此，通過統計參數 V0(Bac,Hb) 可以考慮直流偏磁對剩余損耗的影響。

　　為了便于快速得到直流偏磁下的統計參數 V0(Bac,Hb)，本文將借助多元回歸分析方法，基于表 5 給出的相關數據，得到 V0(Bac,Hb)與無直流偏磁下的統計參數 V0(Bac,Hb=0)、Bac、Hb 之間的數值關系。首先，將 V0(Bac,Hb)按照對應的 V0(Bac,Hb=0)進行歸一化處理，如式(29)所示[10]。然后，采用多元回歸分析方法，擬合出 V0_歸一化與交流峰值磁密 Bac 和直流分量 Hb 之間滿足的有理函數的未知系數，詳見式(30)。按照式(30)繪制了圖 6 所示的歸一化統計參數 V0_歸一化與交流峰值磁密 Bac、直流分量 Hb 之間的三維關系圖。利用式(29)、式(30)及 V0(Bac,Hb=0)的取值，可以實現對任意交流峰值磁密、直流分量下的剩余損耗統計參數 V0(Bac,Hb)的求解。

　　表 6 給出了直流偏磁量 Hb=60A/m 時，不同交流磁通密度 Bac下，V0(Bac,Hb)計算值(公式(29)、(30)) 與提取值(公式(28))的對比。通過對比可以看出，計算值與提取值較為吻合，誤差絕對值不超過 7.5%，驗證了 V0(Bac,Hb)計算函數表達式可以滿足計算要求。

　　根據 2.3 節分析，選擇交流磁密 Bac=0.5T、0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m，頻率 f=100Hz、 500Hz 時對應的損耗測量值作為算法的擬合數據點，保證所獲得的?和 n 最優值能夠滿足任意磁通密與直流分量條件下的不同頻率的損耗預測。基于模擬退火算法辨識的?和 n 最優值分別為 0.029 和 0.842，目標函數值隨溫度迭代次數的變化曲線如圖 7 所示。

　　在工頻或更高頻段下直流偏磁條件下磁滯特性的模擬應考慮渦流損耗與剩余損耗的影響。結合 3.2 節所獲取的損耗統計參數 V0 和分數階特征參數辨識值，并根據 1.2 節與 2.2 節所提動態 J-A 模型及基于 R-L 分數階導數改進動態 J-A 模型分別對不同頻率直流偏磁 Hb=50A/m，交流磁密 Bac=0.7T、 0.9T 條件下對應動態磁滯回線進行模擬并與實測值比較，如圖 8 所示。由圖 8 可以看出，動態 J-A 模 型 及 其 基 于 分 數 階 改 進 模 型 在 低 頻 段(50~200Hz)模擬得到的動態磁滯回線與實測曲線較為吻合。而在更高頻段，由于集膚效應凸顯，損耗分離理論及其公式不再適用，1.2 節構建的動態 J-A 模型模擬的動態磁滯回線的矯頑力及底部尖端相較于測量曲線均增大，并最終導致所模擬的動態磁滯回線面積(損耗)偏大。而 2.2 節構建的基于分數階導數改進動態 J-A 模型能夠有效抑制所模擬動態磁滯回線面積偏大的趨勢，使得所模擬動態磁滯回線更接近實測值。兩類動態 J-A 模型對電工鋼樣品在不同頻點下損耗(動態磁滯回線面積)的模擬誤差絕對值對比結果如圖 9 所示。由對比結果可知，相較于動態 J-A 模型，基于改進動態 J-A 模型在更高頻段(400-1000Hz)范圍內模擬的損耗值誤差得到抑制，其在整體頻段下模擬損耗的誤差絕對值不超過 8%，驗證了所提方法的有效性。

　　將第 2.1 節給出的直流偏磁下靜態 J-A 修正模型與傳統損耗分離理論相結合構建損耗計算模型一(式(10)、式(11)與式(20));將模型一中的渦流損耗分量替換為本文所提出的基于R-L分數階導數的改進渦流損耗表達式，實現損耗計算模型二的構建(式(11)、式(20)與式(23))。采用上述兩種損耗計算模型對電工鋼在交流磁密 Bac=0.5T、0.7T、 0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m，頻率區間為 10Hz~1000Hz 范圍內的總損耗進行模擬，并將模擬結果與實測結果進行對比，如圖 10~圖 12 所示。通過對比可知，兩種損耗計算模型在低頻段(10~200Hz)的損耗模擬結果保持一致，而隨著頻率的進一步增加，模型一損耗計算值與測量值之間的偏差逐漸增大，而模型二損耗計算值在整個頻率區間內則與測量值吻合良好。上述結果進一步驗證了分數階導數的引入實現了損耗計算模型在低頻與高頻范圍內對損耗的整體模擬精確性。

　　為了便于定量分析兩種損耗計算模型的全局預測精度，本文引入平均相對誤差加以描述，表達式如下[15]： i,cal ac dc i,mea ac dc 1 i,mea 1 ( , ) ( , ) 100% n i W B B W B B n W ???? ? ? (31) 式中：n 為測量頻點數量，在不同磁密和直流分量下的測量頻率范圍內(10~1000Hz)取 n=15，Wi,cal、 Wi,mea 分別為每個頻點對應損耗計算值與實測值。

　　當交流磁密 Bac=0.5T、0.7T、0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m 時，模型一和模型二損耗計算平均相對誤差如表 7 所示。由表 7 可知，模型二的計算精度整體上優于模型一，說明基于 R-L 分數階導數的損耗計算模型可以有效地對高頻疊加直流偏磁條件下的損耗進行精確預測，驗證了所提方法的準確性。

　　4 結論

　　針對高頻交流磁場疊加直流偏磁條件下鐵磁材料的磁滯與損耗特性精確模擬問題，本文開展了動態磁滯模型及其參數辨識算法的相關研究，得出如下結論：

　　1)在靜態 J-A 磁滯模型中引入直流分量，改進 J-A 磁滯理論在直流偏磁下的能量平衡方程，以及無磁滯磁化曲線、有效磁場強度、磁通密度系列公式。在此基礎上，考慮高頻磁化條件下渦流損耗和剩余損耗對磁性體系能量的影響，基于損耗統計理論和分數階微分算子，構建一種新型動態 J-A 磁滯模型。

　　2)結合全局優化算法—模擬退火算法，將動態 J-A 模型的損耗計算值與測量值之間的均方根誤差最小化作為優化算法的目標函數，提出動態 J-A 模型特征參數(阻尼系數?及分數階導數階次 n)的尋優算法，實現模型特征參數的精確辨識。基于直流偏磁下損耗測量數據，辨識剩余損耗的統計參數 V0，并提出描述歸一化 V0 的有理函數表征式。

　　3)以實驗測量結果為基準，靜態 J-A 模型修正模型對直流偏磁下磁滯損耗計算誤差值最大為 4.11%;基于 R-L 分數階導數的動態 J-A 模型對高頻疊加直流偏磁下磁滯回線面積(損耗)模擬絕對誤差值最大為 7.84%;本文所提損耗計算模型的損耗計算值平均相對誤差最大為 7.35%。