淺談大面積測區控制測量中投影變形的精度分析

　　摘 要:本文首先分析了投影變形產生的原因，長度投影變形給測量工作造成的多種誤差。基于橢球投影過程中產生的變形進行了全面的探討和研究。對如何來控制投影變形提出了一些解決方案，并以工程實例進行分析說明。尤其是在大面積的跨帶測量工程中必須解決好如何控制投影變形的問題，否則會導致地形圖上的長度與實際長度不符。

　　關鍵詞:投影變形,坐標系,投影帶,中央子午線,控制網

　　引 言

　　現在的工程測量任務中工程測量控制網不但應作為測繪大比例尺地形圖的控制基礎，還應作為城市建設和各種工程建設施工放樣測設數據的起始依據。為了便于施工放樣工作的順利進行，要求由控制點坐標直接反算的邊長與實地量得的邊長，在長度上應該相等。但是我國目前采用的54北京坐標系和80西安坐標系等都是高斯-克呂格投影即等角正形橫切橢圓柱投影。在由橢球面投影到平面時會有距離、角度、圖形呈現差異，即投影變形。還有一些面積比較大的工程測量任務可能橫跨一個或幾個投影帶，這時長度投影變形將是影響測量精度的主要問題。本文將對這一問題利用實際案例來闡述如何減小投影變形，從而滿足工程測量的精度要求。

　　2 投影變形產生的原因

　　2.1橢球投影與投影變形的概念

　　就是將橢球面各元素(包括坐標、方向和長度)按一定的數學法則投影到平面上。可用下面兩個方程式(坐標投影公式)表示：

　　式中L,B是橢球面上某點的大地坐標，而是x,y該點投影后的平面直角坐標。

　　橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面。將這個曲面上的元素(距離、角度、圖形)投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現差異，這一差異稱為投影變形。

　　根據CJJ73-97《全球定位系統城市測量技術規程》的規定投影長度變形值不得大于2.5cm/km。

　　2.2橢球投影變形產生的原因

　　圖2-1 投影示意圖

　　地球表面是球面，而地圖通常是繪制在平面圖紙上，因此制圖時首先需要把球面展為平面。但是球面是個不可展的球面，這就是說，若把它直接展為平面，必然發生破裂或褶皺。所以必須采用特殊的方式將球面展開，使其成為既不破裂又無褶皺的平面。

　　如圖2-1所示，將地球的球面展為我們需要的坐標系平面上時，也就是將地球上的點一一畫在平面上，需要用地理坐標，直角坐標和極坐標來表示，我們要采用一定的數學方法來確定這些坐標之間的關系。這種在球面和平面之間建立點與點之間對應關系的數學方法稱為地圖投影。用地圖投影的方法將球面展為平面，雖然可以保持圖形的完整和連續，但它們與球面上的經緯網形狀并不完全相似，必然要產生變形，無論那種地圖投影法都有變形，包括長度變形、面積變形、角度變形或形狀變形。有的投影圖上，幾種變形都存在，也有的投影圖上可使面積無變形，而角度變形較大;也可使角度無變形，而面積變形較大。由于高程面的不同所產生的長度變形也是投影變形產生的一種主要表現形式。

　　高斯-克呂格正形投影是目前我國采用的投影方式，投影示意圖如上圖。由圖可知，投影后中央子午線為直線，長度沒有變化。而兩側的地形線長度投影后都有不同程度的變化，并且越是遠離中央子午線變形越大。如下圖2-2所示

　　3 長度投影變形的主要解決方法

　　3.1抵償投影帶法

　　根據測區位置合理選擇中央子午線的位置，是長度投影到該投影帶所產生的變形，恰好抵償這一長度投影到橢球面所產生的變形，這時高斯投影面上(即設計圖紙上)的長度也能夠和實地長度保持一致，避免長度變形超限。

　　3.2抵償高程面投影法

　　將大地線有較高的高程面化算至較低的橢球面時，長度總是減小;而將橢球面上的大地線投影到高斯平面上時，長度總是增加的。根據它們的抵償性質，如果適當選擇橢球的半徑，使長度化算到這個橢球面上所減小的數值，恰好等于有這個面投影到高斯平面上所增加的數值，那么高斯平面上的距離與實地距離就一致了。這個適當半徑的橢球面就是抵償高程面。

　　我們知道，控制點間的觀測邊長D歸化至參考橢球面時，其長度將縮短△D，近似關系為△D /D=h/r，h為控制點間平均高程，r為地球平均曲率半徑。橢球面上的邊長S投影至高斯平面，其長度將增長△S，近似關系為△S/S=(Ym)²/2R²，Ym為控制點間的平均橫坐標。由以上公式可知當測區中心距離中央子午線大于45千米時，長度變形將大于1/40000，即長度投影變形大于2.5cm/km，應采取措施控制投影長度變形。

　　4 實例分析投影變形的控制方案

　　4.1測區概況及任務要求

　　資源調查區位于華北平原南部、河南省中東部。地理坐標為北緯33°58′07″—34°05′46″;東經113°52′31″—114°21′44″。東西長約45km，南北寬約16km，面積約480km²。該測區屬黃淮平原的一部分，主要由黃河、淮河水系沖積而成。全區地勢平坦，平均海拔高度在65m左右，測區屬平原地貌。

　　本測區共布設由8條二維測線，總長度為148KM，東西向的最長測線為48KM。設計圖紙為中央子午線采用117度，高斯6度帶正形投影，坐標系統為1980年西安坐標，采用1985國家高程基準。要求在測區內布設一定密度的E級GPS控制點，能滿足測區內施工放樣和后續地質勘查的需要，并在實地放樣出設計的二維測線。

　　4.2測量任務的情況分析

　　4.2.1測量任務分析

　　由于本測區面積大，東西跨度長，且位置處在19和20兩個6度正形投影帶之間，據兩個帶的中央子午線較遠，測區中心位置距離設計的投影帶中央子午線的距離約270KM,若按設計數據來施工，長度投影變形為83.5cm/km,投影變形誤差為1/1198遠大于規范要求的1/40000。因為本測區屬平原地區，平均海拔高程不大約為65m。因此知道該區的投影變形主要是因為投影帶選擇問題而產生的變形過大。為減小邊長投影變形，應選擇抵償投影帶法來控制投影變形。若選用中央子午線為114度，高斯3度帶正形投影，本勘探區處在中央子午線附近，最遠端據中央子午線為39.5KM。投影變形小于1/40000，滿足規范、設計要求。

　　4.2.2已有資料的分析和利用

　　在測量前期的準備階段，我單位在該區所屬的測繪主管單位搜集到測區內和測區附近的西安80坐標系中央子午線為117°的6度投影帶的國家等級點數據12個，和中央子午線為114°的3度投影帶的國家等級點數據10個。經實地踏勘和數據分析兩個投影帶中各有4個國家等級控制點可以利用，可作為本次測量工作的起始控制測量數據使用。

　　4.3 E級GPS網的布網方案

　　由于調查區面積較大，原有國家等級控制點破壞嚴重，已不能滿足本次勘查工作的需要。所以在勘察區內加密了E級GPS控制點73個。

　　4.3.1 布網要求

　　GPS網相鄰點間基線中誤差 按下式計算：

　　式中(mm)為固定誤差;(ppm)為比例誤差系數;(km)為相鄰點間的距離。E級GPS網的主要技術要求應符合表4-1規定。相鄰點最小距離應為平均距離的1/2～1/3;最大距離應為平均距離的2～3倍。

　　注：當邊長小于200m時，邊長中誤差應小于20mm。

　　4.3.2布網原則與網形設計

　　(1)GPS網根據測區實際需要和交通狀況布設和埋設。GPS網的點與點間沒法做到每點通視，但考慮常規測量方法加密時的應用，部分點有1～2個通視方向。

　　(2)在布網設計中顧及到原有測繪成果資料以及各種大比例尺地形圖的沿用，對凡符合GPS-E級網布點要求的舊有控制點，都充分利用其標石。

　　(3)GPS網由若干個獨立觀測環構成和附合線路構成。E級GPS網中每個閉合環或附合線路中的邊數都符合表格4-2的規定。

　　非同步觀測的GPS基線向量邊，按所設計的網圖選定，也可按軟件功能自動挑選獨立基線構成環路。

　　(4)為求定GPS點在西安80坐標系中的坐標，在本次控制測量的布網過程中把兩個坐標投影帶的8個國家等級點都進行了利用聯測，并為GPS網結算后精度進行分析做準備。如下GPS網聯測圖圖4-1所示

　　4.4數據處理方案

　　(1)起算數據與坐標系統

　　起算數據采用中央子午線117度，高斯6度帶正形投影和中央子午線114度，高斯3度帶正形投影，兩個投影帶分別進行平差計算。坐標系統為1980年西安坐標。參考橢球：1975年IUGG推薦橢球(國際大地測量協會1975)西安80坐標系基準橢球(a=6378140m;b=6356755.2881575286m;α=1/298.257)。

　　高程系統采用1985國家高程基準。

　　(2)三維無約束平差

　　當GPS基線各項質量檢驗符合要求時，應以所有獨立基線組成閉合圖形，以三維基線向量及其協方差陣作為觀測信息，以一個點的WGS-84系三維坐標作為起算依據，進行GPS網的三維無約束平差。以提供各GPS控制點在WGS-84坐標系下的三維坐標，各基線向量三個坐標差觀測值的改正數，基線邊長以及點位和邊長的精度信息，并生成GPS高程擬合的數據文件。

　　在三維無約束平差中，基線向量的改正數絕對值應滿足下式要求：式中：為E級GPS控制網規定的基線的精度。

　　當超限時，可認為該基線或其附近存在粗差基線，應采用軟件提供的方法或人工方法剔除粗差基線，直至符合上式要求。

　　(3)二維約束平差

　　在無約束平差確定的有效觀測量基礎上，以起算數據中提供的已知點作為強制約束的固定值，進行二維約束平差。平差結果就輸出各GPS控制點在前述的坐標系統中的二維平面坐標，基線向量改正數，基線邊長、方位以及坐標、基線邊長、方位的精度信息，轉換參數及其精度信息。

　　約束平差中，應將已知坐標點組合成不同的約束條件，以發現作為約束的已知坐標與GPS網不兼容性(即約束平差結果嚴重扭曲GPS無約束平差結果的精度)。

　　4.5投影變形控制結果分析

　　控制測量使用兩個投影帶數據分別進行平差計算得到兩套控制點坐標數據，并從其中選取了6條基線邊，利用精度為±2mm+2ppm的全站儀進行實地測量邊長，再進行數據對比分析。

　　4.5.1 3度投影帶的邊長數據分析

　　將實測邊長近似當做兩點的平面直線距離。有上述圖表可知，較差最大邊為3.4cm，投影誤差為1/48090，小于規范要求的1/40000。

　　4.5.2 6度投影帶的邊長數據分析

　　將實測邊長近似當做兩點的平面直線距離。有上述圖表可知，較差最大邊為167.9cm，投影誤差為1/975，大于規范要求的1/40000。

　　通過上面的數據比較可見，當測區面積較大、海拔高程較高、起伏較大或處于投影帶邊緣處離中央子午線大于45公里時，采用高斯正形投影任意帶的平面直角坐標系，可有效的控制投影變形，使投影變形在限差之內。

　　5 結束語

　　大面積測繪工程控制網的布設量大面廣，除合理分析選擇起算數據外，坐標系統的確定是首要的一步工作，而坐標系統的確定最關鍵的問題是長度投影變形量的控制，合理利用本文探討的抵償投影帶法、抵償高程面投影法等方法將較好地控制大面積測繪工程控制網測量中的投影長度變形值，為工程施工提供可靠保障。關于坐標系的確定原則為：

　　(1)大面積測繪工程根據跨越經線情況，擇優先選用高斯正形投影3°帶平面直角坐標系。

　　(2)當測區中心離開中央子午線距離較大時(如平原地區約為45km)，采用高斯正形投影任意帶平面直角坐標系。

　　(3) 采用高斯正形投影任意帶平面直角坐標系時，作為起算數據的國家控制點成果應換帶至相應的中央子午線。

　　參考文獻

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