一、引言

2007年美國爆發的次貸危機，因其傳播速度快、持續時間長、影響范圍廣、破壞性大，最終演變成全球性的金融危機，導致多數經濟體停滯甚至衰退。這場危機引發的美國和世界主要證券市場劇烈波動為1929年以來之最。本文應用奇異點檢測的小波分析方法對美國證券市場進行回朔剖析，以期對我國證券市場的穩健發展起到警示和借鑒作用。小波分析從工程領域應用于統計領域引起反響與關注［1］(AntoniadisandOppenheim，1995)，近年來被逐漸運用到經濟、金融數據的統計研究中。國內外已有的研究成果顯示:小波方法可以去除股市數據中偶然因素引起的漲跌，凸顯影響股市漲跌的主要因素和宏觀突變的特點，表明小波分析在探討股市行為特別是奇異點檢測及宏觀股價走勢的預測上具有良好的應用前景。目前，國外對金融時間序列變點研究的有:納森［2］(Nason，1996)討論了澳元對美元匯率的模擬數據，比較了“通用門限”法，“全門限”法等之優缺點。瑞斯等［3］(Ramseyetal，1995)首先把小波分析應用于金融市場，分析了標準普爾指數的波動情況。王［4］(Wang，1995)使用小波分析，對美國1953年至1991年月度股票收益的奇異點進行了研究，但沒有檢測出海灣戰爭這一重大事件。斯圖［5］(Struzikw，2001)認為，小波可用來發現金融數據的異常點，他嘗試用小波變換極大模分析多重分形譜，確定了高頻時間序列定位尺度的特征。國內的研究有:黃香，葉維彰等(1997)［6］使用樣條小波研究美元對德國馬克匯率數據，檢驗出了七國工業集團和海灣戰爭的影響。朱洪俊等(2002)［7］采用離散小波變換的直接算法來檢測突變信號峰值奇異點，實現了對突變信號峰值奇異點的準確檢測和精確定位。王哲(1999)［8］等用墨西哥帽小波對上證和深證股價漲跌率，通過二進小波變換多分辨分析，得出小波方法可以剔除股市偶然因素引起的漲跌，發現帶有普遍性漲跌的一般規律。2011年8月6日世界資本市場又經歷了一場災難性打擊。因世界三大評級機構之一的標準普爾，將美國國債信用等級降為AA+，評級展望為負，美國首次失去AAA主權信用評級。受此影響全球投資者大規模恐慌，各國股市持續大跌。美國道瓊斯工業指數從11444．61點跌到10809點，歐洲股市直到8月14日仍在下跌。中國上證指數跌破2500點，創一年來新低。世界與中國經歷的“標普———美債降級風暴”是次貸危機的延續，也是繼危機標志性事件2009年雷曼兄弟破產后的“最大沖擊波”，對各國的股市和經濟影響深遠。標志這場前所未有的世界危機仍將持續，終點仍無法準確預測。美國走上了向世界各國轉嫁危機損失之路。因此，觀測美國證券市場信號中的奇異點及不規則的突變部分，分析其中帶有的重要信息，有助于我們診斷美國的經濟運行故障，同時對本國經濟將受到的影響作出提前反應。本文主要基于小波變換模極大值方法，計算李普西茲指數，尋找美國次貸危機中的突變點及這些突變點對應的關鍵事件，研究次貸危機前后美國證券市場主要特征、次貸危機對美國金融市場的影響以及美國金融市場異常對應的美國經濟系統的重大特別事件。

二、突變點的小波檢測方法

時間序列中包含的信息主要體現在突變點或區域中。小波研究對象是信號，金融時間序列可以看做是金融信號。金融時間序列中的突變反映了市場異常波動和狀態改變，并對應著國內重大事件對金融市場的沖擊及市場的反應。在危機中，對應著危機起源國家市場異常波動及隨后的傳染溢出效應。因此研究突變有以下用途:首先，檢測危機發源國金融市場的突變點和結構變化，為危機前后建立變結構模型提供依據，也使得建立相關預測系統成為可能。其次，分析危機中金融市場的異常狀態及結構變化，有助于對其特征及變化機制進行觀測，是進一步研究這種特征對全球其他金融市場傳染的基礎。小波分析對信號進行時頻分解，研究不同尺度下的突變情況的原理是不同時間尺度對應不同突變點，小尺度突變點多，大尺度突變點少，共同突變點說明這一時間突變強烈，反映了主要波動的特征。因此分析這些突變點的影響因素，有助于揭示時間序列波動的驅動機制。一般用正則性刻畫函數的光滑程度，正則性越高，光滑性越好。信號在某點或區間內可微，則信號在該點或區間正則。反之，函數在某處間斷或導數不連續，則函數在該處奇異。奇異點分為兩類:①峰值點，指某一時刻幅值發生突變，引起信號非連續，相當于在該處疊加了沖激信號，被稱為第一類型間斷點。②過零點，信號外觀光滑，幅值無突變，但一階微分有突變且不連續，被稱為第二類型間斷點。相當于在該處疊加了階躍信號。兩類奇異點均可在小波變換中反映。小波變換一階導數dWfdt=0的點，是Wf()t的峰值點;小波變換二階導數d2Wfdt2=0的點，是Wf()t的過零點。由拉氏變換可以推導出信號經某一函數濾波后求K階導數等效于信號直接用該函數求K階導數后的小波濾波。

三、小波變換模極大值

通常用李普西茲指數α(縮寫L．E．α)，來度量函數的正則性。它刻畫了函數f與局部多項式的逼近程度。函數某點的李氏指數刻畫了該點的奇異性，α越大，該點的光滑度越高;反之，奇異性越大。傅里葉變換是研究信號奇異的基本工具，通過函數傅里葉變換的衰減(趨于零的快慢)來判斷奇異性強弱。缺點是只能給出信號在R上的均勻李氏指數，判斷整體奇異性，但不能確定奇異點在R上的分布及奇異性強弱。小波可以對信號進行局部分析，判斷奇異點位置及強弱。馬拉特等［8］(Mallat，1977，1992)最早研究了小波變換在信號奇異性檢測中的作用。小波變換模Wfs，()u在v領域中小尺度下的衰減性能夠刻畫函數f在點v的局部李氏正則性，但尺度—時間平面上直接計算任意點v在其領域中模Wfs，()u的衰減性的計算量極大，很難直接運用于實際數值計算。Mallat，HWANG［10］給出了局部極大值可以控制Wfs，()u的衰減性的相關證明。如果小波變換Wfs，()u在小尺度上不存在局部模極大值，那么f一定是局部正則的。如果一個模極大值序列在小尺度上收斂于點v，則f在該點是奇異的。跟蹤小波變換模極大值曲線能找到所有奇異點，但模極大值點可能不在同一條極大曲線上，當f是完全正則函數時，有可能其小波變換某個模極大值點列趨于橫坐標。因此僅沿尺度搜索小波模極大點是不充分的，需要從模極大值的衰減判斷函數在該點的奇異性。