第一篇

一、數學思想方法的分類

（一）分類討論方法

分類，即根據性質的不同分門別類，把各種不同性質的東西分開，然后整理好，從而讓它們變得有條理，這樣便于問題的分析解決。例如，二元一次方程ax2-4x-2=0有實根，求a的值。考慮到a的值會影響方程的次數，所以這時就要對a進行分類來求解該題。（1）當a=0時，方程為一次方程，即4x+2=0，次方程有實根x=-2；（2）當a≠0時，方程為二次方程，如果要滿足題目要求有實根就必須滿足根的判定定理，即△≥0，得到a≥-2且a≠0。由于這兩種情況可以合并，所以最后的結果就是a的取值范圍為a≥0。

（二）逆向思維思想

在生活中逆向思維方式無處不在，它其實就是從問題的對立面來思考，并結合實際將數學問題反過來考慮。例如，初中數學中有的題目的最小值可能不好求，而最大值很好求，這時教師就可引導學生通過求最大值的方法來達到解決問題的目的。這是一種很好用的方法，其有利于提高學生大腦的靈活性，有利于鍛煉學生的思維能力。

（三）整體思想

所謂整體思想就是要縱觀全局，從整體上考慮問題，而不是從問題的某一個角度去思考；是要從大的方向分析，而不是從小的角度著手。有的時候，從細的方向去解決數學問題反而會使問題變得很復雜，達不到解決問題的目的，此時就需要從題目的全局出發，慢慢深入題目的內部。

（四）類比聯想思想

聯想不光運用于語文中，在數學中同樣也適用，我們可以由一個或幾個數學問題聯想到其他類似的數學問題，并對它們進行類比分析，這樣就可以達到融會貫通的目的，也會讓學生的思維更加開闊。

（五）化歸思想

將兩個性質相同的運算進行相互轉化就是一種化歸思想，如兩個數相加可以轉化為被加數和加數的相反數的減法運算，兩個數相除同樣可以轉化為被除數乘以除數的倒數的運算。此外，用公式定理來解決數學問題也屬于歸化思想。總之，教師要鼓勵學生用歸化思想解決問題，并在此過程中不斷提升自己。

二、落實數學思想方法的滲透

（一）將數學思想體現在平時的教學中

教師要將數學思想方法體現在平時的教學中。在教學的過程中，教師不應將課本中的文字灌到學生的大腦中，而是要將其中的精髓提煉出來，要傳授給學生解決數學問題的思想方法。這樣，學生就會慢慢地形成自己的數學思想和獨立的思維方式，就可以做到觸類旁通、舉一反三。這也是將所學知識融會貫通的體現，對提高學生能力起到了很大的幫助作用，同時也讓學生感受到了挑戰的激情，激發了學生學習的興趣。

（二）突出重點和難點

在初中數學教學過程中，教師要“重點突出，難點分明”。如果堂堂課全是重點，那么學生會失去學習的積極性；相反，如果課堂沒有重點，學生必然會感到特別茫然。所以，在課堂教學過程中，教師要突出重點和難點，要反復強調數學思想的運用。在教授重難點的時候，教師要放慢講課速度，并綜合運用數形結合等數學思想。此外，教師在講課中要特別注意與學生的互動，要根據學生的反應靈活教學，讓學生在課堂上盡可能多地掌握所要教學的重、難點知識和數學思想方法。

三、結語

總之，初中數學教學應遵循循序漸進的原則，要突出重、難點，要打好基礎，同時要讓數學思想滲透到數學問題的解決中。雖然數學是相對比較枯燥的東西，但是數學教師可以用不同的數學思想方法讓它變得生動形象起來，從而提高學生的學習興趣。

作者：余長珍 單位：江西省鉛山縣第三中學

第二篇

一、以惑為誘進行教學的可能

從人類獲知的過程來看，主要有兩種不同的方式：循序漸進式和躍進式。孟子曾說“盈科而后進”，以為“其進銳者其退速”。同時，他還用“揠苗助長”的故事來警示“揠苗”的方法“非徒無益，而又害之”。朱熹也曾說“智者知之積”，“非一日之勤所能為也”，獲知必須著眼于“一粒之萌芽，一縷之滋長”。一直以來，循序漸進原則也是教育過程中不可動搖的鐵律，知識的傳授需要從直觀到抽象，從淺顯到深刻。從個體獲知的角度來看，循序漸進也是個體以原有的知識結構不斷“同化”新的知識的過程，不斷地把各種知識融入其中，以實現知識量的擴張及結構的優化。知識的獲得還有另外一種被稱為“躍進”的方式，諸如“頓悟”、“恍然大悟”等就是其存在的最好的例證。這種觀點認為“無論是人的智力發展、道德形成、能力培養，或者外在的科學進步和知識增長，除了有常規的循序漸進的方式之外，還有非常規的或非常態的躍遷突進的方式。”這種“躍進”的實現是以惑為媒介的。惑的存在引起了解惑的沖動和行為，使知的獲得成為可能；惑的存在是主體原有的闡釋系統發生紊亂或者說失效，必須以一個具有更強大解釋功能的闡釋系統代替原有的闡釋系統，使主體擺脫惑境，這樣主體原有的知識結構必然“順應”另一個層次更高的體系結構。

二、以惑為誘教學方法與初中數學的適切性分析

初中數學新課程標準以學生的全面、和諧、可持續發展為起點，強調數學課程在面向全體學生前提下的基礎性、普及性和發展性，使“人人學有價值的數學、人人獲得必備的數學知識、不同的人獲得不同的發展。”相對于傳統的初中數學教學大綱對情感態度的忽視、對創造性的束縛，新課程標準在關注知識和技能的同時，也關注過程與方法、情感與態度，并特別提出了過程性目標和體驗性目標，重視“學生‘經歷了什么’、‘感受了什么’、‘體會了什么’。”基于此，提出了初中數學教學在知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度方面的四維目標。

首先，在知識與技能方面，要通過數學的學習，獲得一些必備的數學知識、數學經驗、應用技能及數學思想方法，以滿足社會生活及個體長遠發展的需要；其次，在數學思考方面，通過一系列數學活動（如觀察、實驗、猜想、證明等）的開展，發展學生的合情推理與演繹推理能力，使其能夠大膽地提出自己的觀點，并敢于為自己的觀點辯護；第三，在解決問題方面，使學生能夠用所學的知識和技能從數學的角度提出問題、分析問題、解決問題，并且在探究過程中，鼓勵學生尋求多樣的問題解決策略，發展學生的創新精神；最后，在情感和態度方面，通過豐富數學活動的開展及學生的積極參與，培養學生對于數學學習的興趣，激發求知欲，并在困難的問題情境的解答中使其獲取成功的情感體驗，建立數學學習的自信心。初中數學“以惑為誘”教學方法的提出緣于實際教學出了問題，即傳統的灌輸教學方法依然盛行，其目的是為了改變“傳遞———接受”的教學方式，改變死記硬背、機械訓練、簡單重復的學習方式，凸顯學生的主體特性，使學習擺脫外界力量的束縛和強迫，變成由興趣所引發的內在的、主動的、積極的過程。

初中數學“以惑為誘”教學方法的提出是為了學生更好地掌握知識，形成完備的知識體系。它以“生惑”為出發點，調動學生學習的興趣，在積極主動的探究中發現知識。而在探究中發現知識，需要建立在其原有知識體系的基礎上，這樣，新發現的知識必然與原有知識建立起聯系，有利于知識的結構化。其次，初中數學“以惑為誘”教學方法在實踐中的運用強調學生自己的思考和探究的重要意義，這等于給學生的思維解去了枷鎖，拓展了寬度。這樣的教學不僅依賴于學生的思維，而且，為學生思維能力的提升創造了條件。第三，初中數學“以惑為誘”教學方法的起點是“惑”，正如在前文中論述的那樣，解惑的第一步就是通過梳理把“惑”具體化為“問題”。

惑是一種心理狀態，是學習需要的發生條件，而惑的合理解答則是要通過一系列問題的化解而完成。問題解決能力正是在這樣的問題解決過程中得以發展，問題解決的背景知識只有在這樣的反復提取中才能變得易于遷移，問題解決策略也在這樣積極的思考探究中得以形成。最后，在情感和態度方面，初中數學“以惑為誘”教學方法也具有極大的能量。這種教學方法的展開過程就是以學生內在的情感狀態為推進依據的。只有讓學生“生惑”，才能去梳理惑，才能去尋求解惑的途徑；只有在學生的思考過程中產生了“憤”這種渴望解惑的情感，教師才能夠給予有效的啟發；只有當學生在繼續的思考中產生雖“未得”但“已非常接近答案”的“悱”的狀態，教師的“發”才具有意義。這樣的教學過程中學生體驗著豐富的情感，并由此孕育出強烈的學習興趣和欲望，學習對他來說變成“自身發展的內在需要與完善和提高自己的手段，變成一種愉快的情感體驗。”

三、初中數學以惑為誘教學方法的過程分析

前文中論述了惑的普遍性，也闡明了惑是知的重要方式，那么惑自然也可以引入教學活動，只是需要變“被動地遇見惑”為“主動地構建惑”，把學生主動地帶入一種惑境，由此而引發學生的探索與思考，并在惑的解構、具體化、解決過程中發現知識、消化知識、建構知識。惑具有強烈的個體性，處于同一情境中，有人可以生惑，有人卻沒有惑，即使都有惑，惑的層次和水平也會有明顯的差別，因此，在“以惑為誘”的教學過程中應該格外關注對個體的單獨指導。同時，教師要發展其敏銳的眼光，以準確地辨明學生是否出現了惑的心理，并在對話中定位致惑原因，為解惑提供方向上的引導。具體來說包括下面四個步驟：

第一，創設情境，誘導學生生惑。教師按照一定的目的使學生出現惑的心理狀態，由此產生出“知”的興趣和動力。

第二，與學生一起厘清惑。厘清惑就是通過解析實現惑的具體化目的，其行為是“解析”，結果是“問題”。“解析”是指對惑的解剖，“即通過對學生已有闡釋系統及其無法有效包容和解釋的刺激的關系的全面了解，并對借助教師的幫助和指導，學生是否能成功解惑，以及解惑將涉及的范圍和問題進行總體的評估。”“問題”是惑的具體化，是在對惑的可能原因解析基礎上為惑的解決指出明確的方向，惑的問題化是解惑的關鍵。

第三，啟發、引導學生解決惑。解惑是由一系列環節構成的，即“探究→憤→啟→探究→悱→發→知”。“探究”是指學生主動尋求問題的解決。而“憤”者，心求通而未得之意，即學生在“探究”了一段時間依然可能想不通，便產生的一種非常渴望知道的狀態。這時便需要教師及時地“啟”發，并鼓勵學生繼續思考。在這一階段，學生可能直接致知，也可能只接觸到零碎“知”的片段，無法以準確的言辭表述出來，也就是“悱”的狀態，即口欲言而未能之貌。

教師應在此關鍵時刻給予幫助，其實就是“發”的過程，以實現最終的目的———“致知”。第四，與學生一起反思解惑過程。反思的目的首先在于回顧整個解惑的過程，以確定是否有疏漏之處；其次，還在于通過解惑過程以獲得思維策略上的積累；當然，反思的過程也不僅應該出現在解惑實現之后，在解惑過程中的反思也有利于尋找到正確的解惑途徑。

四、初中數學以惑為誘教學方法的實施要求

以惑為誘的教學方法是以“惑”為媒介激發個體的求知欲望，從而實現個體認知結構的跳躍式發展，要使學生“一惑剛去，一惑又來，如此循環往復、層層深入，促使學習者思維的發展與知識的增進。”那么，在具體的實施過程中應該如何保證其有效性，并實現獲知效率的最大化，或者說在“以惑為誘”的教學過程中有哪些因素需要格外注意的呢？

１．創設有效的惑境

在課堂中，“教師供給的刺激或暗示相對于學生的闡釋系統而言需具有一定的新異性，促使學生根據自己的闡釋系統對暗示的意義做出解釋（惑解決新情境中的問題）時產生惑。”惑的有效性，既表現為解惑的可能性，也表現為惑在多大的程度上激起了學生的探索欲望。如果惑太大太難，學生費盡九牛二虎之力也覓不到絲毫解惑之線索；或者惑太小太易，一目了然，這樣的惑都是失敗的惑。前者會導致學生因無望而放棄，后者，可能根本就不存在惑。比如說，在“勾股定理”的教學中，若是這樣導入：“一般的三角形的三邊之間具有什么關系？作為特殊三角形的直角三角形的三邊之間除了一般關系之外，還有其他關系嗎？”只要學生臨時看一眼課本，就會馬上告訴你“有，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這無異于直接呈現給學生勾股定理的內容，同時，給學生造成已經掌握的假象，失去了探索其中奧秘的興趣。因此，這是一個失敗的惑。但是，如果換一種方式，呈現圖２，并描述，“這是２００２年在北京召開的第２４屆國際數學家大會的會徽，它像一個轉動的風車，揮舞著手臂，歡迎來自世界各國的數學家們。同學們請觀察這個圖片，并思考其中的三條線段ａ，ｂ和ｃ之間的關系。”通過欣賞圖片，加之老師啟發性的語言，可以激起學生學習興趣，并轉化為探索的行動。

２．關注惑的個體性

學生的原有認知水平和思維方式上存在著很大的差別，因此，即使在相同的惑境中，惑的表現也不盡相同，呈現出強烈的個體性。在教學中，教師一定要關注到這一點，給予學生個別化的輔導，不能把著眼點集中在同步的過程和節奏上。“教師應尊重學生的人格，關注個體差異，滿足不同學生的學習需要，創設能引導學生主動參與的教育環境，激發學生的學習積極性，培養學生掌握和運用知識的態度和能力，使每個學生都能得到充分的發展。”比如說，有的學生可能是因為“審題”出現差錯而困惑，有的可能是因為數學化能力的不足而困惑，有的則可能是知識準備的不足而困惑等等。因此，在以惑為誘的教學過程中，教師要盡可能與每位學生交流，了解他們的困惑，并幫助分析惑產生的原因，分別給予思維方向上的指引，最終達成致知的目的。

３．倡導學生的探究

從上面的案例可以發現，“以惑為誘”的教學方法非常重視學生自我在解惑過程中的作用，教師切不可喧賓奪主、越俎代庖。惑的解答不是“天上掉下個林妹妹”似的給予，而是要在主體的背景知識作用下，分析惑，梳理惑，把惑歸結或分解為具體的問題，再繼續尋找問題解決的途徑。以惑為誘的方法加于學生的學習過程，其目的便是通過惑引起認知的失效，加上人與生俱來的認知沖動，惑自然點燃了主體的解惑欲望，增強了獲知興趣，并自愿且積極地走進思維的世界。如若在惑的產生之后，教師采取講授的方式幫助或替代學生解惑，其結果必是使學生從自我依賴走向教師依賴、從主動解惑變成被動接受。因此，以惑為誘的教學方法旨在生產學生追求知識的強大內驅力，并引領學生主動地探尋知識的奧秘。

４．重視方向的引導

由于學生認知水平的局限，他們在梳理惑、求解問題的時候，自然會有無從下手的狀況，當然，允許學生的不斷試誤是必不可少的，“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻”，但是，如若反復地試誤之后依然毫無進展且沒有獲得教師在方向上的引導，學生不可避免地會產生放棄的念頭，這是對學生興趣和自信心的打擊，在這個時候，教師這個思維引路人的角色必須要發揮作用。比如在上述的案例中，在致惑原因的分析上，在把惑聚焦的過程中，教師的引導意義重大；在學生初步嘗試解題失敗后，教師的引導為學生點出了問題解決的可能方向，使學生的繼續探究變成了可能；解題過后的總結，滲透數學建模的思想，提高了學習效率，也提高了學生的認識力。

作者：周大眾 廖冬梅 單位：西南大學西南民族教育與心理研究中心 重慶師范大學教育科學學院