多策略協同改進的阿基米德優化算法及其應用

　　摘 要：針對阿基米德優化算法(AOA)尋優過程中存在全局搜索能力弱、收斂精度低、易陷入局部最優等缺陷，提出一種融合多策略的阿基米德優化算法(MAOA)。首先，采用隨機高斯變異策略，選取適應度優的多個個體引導種群向最優解區域尋優，增強全局搜索能力;其次，利用多種混沌映射的隨機性、遍歷性和多樣性，引入局部混沌搜索策略，擴大混沌空間的搜索范圍，提高算法的局部開發能力;同時，為了協調算法的全局勘探和局部開采能力，提出一種非線性動態密度降低因子;最后，利用 Levy 飛行引導機制的黃金正弦策略對種群位置進行擾動更新，增加迭代過程中種群的多樣性，提高算法跳出局部最優的能力。通過對 12 個基準測試函數和部分 CEC2014 測試函數進行仿真實驗，結果表明所提算法能夠改善 AOA 全局探索能力弱、易陷入局部最優等缺點，提高 AOA 的尋優精度和穩定性。另外，引入機械設計案例進行測試分析，進一步驗證 MAOA 在處理實際問題上的適用性和可行性。

　　關鍵詞：阿基米德優化算法;隨機高斯變異策略;非線性動態密度降低因子;Levy 飛行;黃金正弦;機械設計優化

　　羅仕杭; 何慶 計算機應用研究 2021-12-20

　　0 引言

　　現實生活中的優化問題愈顯復雜化，表現出非線性、多約束、高維、不連續等特征。用傳統的優化理論和方法很難解決這些復雜的優化問題，而元啟發式算法對這類問題卻可以獲得較好的優化結果。因此，近年來元啟發式算法受到眾多學者的廣泛關注和研究，其在光伏電池和模塊的參數識別[1]、多閾值圖像分割[2]、路徑規劃[3]等領域得到廣泛應用。受生物群體的社會性質和自然現象規律的啟發，研究人員相繼提出了 許 多 元 啟 發 式 算 法 ， 如 粒 子 群 優 化 (particle swarm optimization，PSO)[4]、黑猩猩優化算法(chimp optimization algorithm，ChOA)[5]、被囊群算法(tunicate swarm algorithm， TSA)[6]、哈里斯鷹算法(Harris hawks optimization，HHO)[7]、均衡優化算法(equilibrium optimization algorithm，EO) [8]、阿基米德優化算法(Archimedes optimization algorithm，AOA)。阿基米德優化算法是 2020 年 Fatma A. Hashim 等人[9]提出的新型元啟發式算法，該算法通過模仿完全或部分浸沒在流體中的物體發生碰撞時所受浮力的關系，在迭代過程中不斷調整個體密度、體積和加速度，從而使個體達到平衡狀態，適應度值優的個體引導種群收斂到最優位置，達到尋優的目的。與傳統的優化算法相比，元啟發式算法具有控制參數少、易于實現、隨機性大和適應性強等特點。然而，AOA 同其他元啟發式算法相似，存在全局搜索性能差，求解精度低和易陷入局部最優等缺陷。

　　為改善元啟發式優化算法全局搜索能力弱，易陷入局部最優等缺陷，許多學者提出改進，例如：He 等[10]將高度破壞性的多項式突變用于 ChOA 種群初始化，在增強種群多樣性的基礎上為全局搜索奠定基礎;韓敏等[11]將混合高斯函數和混沌特性的變異算子引入 PSO 算法，避免算法陷入局部最優;劉成漢等[12]為改善 EO 算法的收斂性能，提出了一種振蕩禁忌搜索的自適應均衡優化算法，提高算法的尋優性能。上述文獻對元啟發式優化算法的改進提高了算法的全局搜索能力，在一定程度上降低算法陷入局部極小值的概率，但仍存在算法尋優精度不足，平衡全局搜索和局部開發能力弱等問題。為此，本文提出多策略協同改進的阿基米德優化算 法(archimedes optimization algorithm improved by multistrategy collaborative，MAOA)，首先，在算法全局搜索階段，提出隨機高斯變異策略，選擇多個適應度值優的個體引導種群向最優解附近靠攏，增強算法全局搜索的能力;其次，利用混沌序列具有遍歷性、隨機性和多樣性的特點，引入局部混沌搜索策略，拓寬算法的搜索范圍，充分利用已有的信息，使群體在最優區域進行精細搜索;同時，提出非線性動態密度降低因子，使其在算法迭代前中期維持一個相對較大值，以保證 MAOA 的全局尋優性能，隨迭代次數增加至后期其值快速減小，使算法在最優解周圍進行精確搜索，達到平衡算法全局搜索和局部開發的能力;最后，將 Levy 飛行機制中長短距離和搜索方向的不確定性引入黃金正弦策略中，實現對種群個體位置的擾動，搜索范圍以黃金比例縮小，使種群不斷接近最優解，同時避免算法陷入局部最優。通過對 12 個基準測試函數、部分 CEC2014 函數以及機械優化案例進行仿真實驗，實驗結果表明 MAOA 算法不僅具有很強的尋優性能和魯棒性，而且在實際工程問題中具有適用性和可行性。

　　1 阿基米德優化算法

　　阿基米德優化算法仿生原理為：AOA 的種群個體是浸入流體中的物體，通過調整物體的密度、體積和加速度，來實現種群位置的更新。 AOA 的具體實現步驟如下：根據浸透在液體中的物體是否發生碰撞，AOA 將其分為全局探索和局部搜索階段。若未發生碰撞，算法進行全局探索階段;反之，進行局部開發階段。AOA 通過轉移因子 TF 實現算法從全局探索切換到局部開發的過程。

　　1.1 初始階段在此階段，AOA 初始化個體的密度(den)、體積(vol)、加速度(acc)，選出當前最優適應度個體(xbest)，最優密度(den)。最優體積(vol)以及最優加速度(acc)。通過式(1)(2)(3)分別更新轉移因子 TF、密度降低因子 d 以及密度和體積。 max max exp( ) t t TF t − = (1) 其中 t 表示當前迭代次數，tmax 表示最大迭代次數。 1 max max max exp( ) ( ) t t t t d t t + − = − (2) 1 1 ( ) ( ) t i t i t best i t i t i t best i den den rand den den vol vol rand vol vol + + = + ? − = + ? − (3) 其中 rand 為(0,1)間隨機數。den t i和 dent+1 i 分別為第 i 個個體在第 t 代和第 t+1 代的密度，volt i和 vol t+1 i 為第 i 個個體在第 t 代和第 t+1 代的體積。

　　1.2 全局探索階段

　　當 TF≤0.5 時，算法進行全局探索階段，個體的加速度更新數學模型如式(4)所示。 1 1 1 mr mr mr t i t t i i den vol acc acc den vol + + + + + = ? (4)其中 acc t+1 i 為第 i 個個體在第 t+1 代的加速度。denmr，volmr， accmr 分別隨機選擇碰撞個體的密度，體積和加速度。通過式(5)對加速度進行標準化處理，用來更新碰撞個體位置。 1 1 min( ) max( ) min( ) t i t i norm acc acc acc u l acc acc + + − + = ? + ? (5) 碰撞個體的位置更新數學模型如式(6)所示。 1 1 1 ( ) t t t t x x c rand acc d x x i i i norm rand i + + = + ? ? ? ? − − (6) 其中 x t i表示第 i 個個體在第 t 次迭代的位置向量，C1為常數， rand∈(0,1)的一個隨機數，xrand 表示第 i 個隨機個體在第 t 次迭代的位置向量。 1.3 局部開發階段當 TF>0.5 時，算法處于局部開發階段，個體加速度更新數學模型如式(7)所示。 1 1 1 best best best t i t t i i den vol acc acc den vol + + + + + = ? (7) 通過式(5)對加速度進行標準化處理，用來更新平衡個體位置，其數學模型如式(8)所示。 1 1 2 ( ) t t t t x x F c rand acc d T x x i best i norm best i + + = + ? ? ? ? ? ? − − (8) 其中 xbest 表示全局最優個體，C2 為常數，T=C3×TF，C3 為常數。F 是改變個體移動方向的標志，用于決定個體位置更新的方向，定義如下： +1 if 0.5 = 1 if 0.5 p F p ? ???− ? (9) 其中 p=2×rand-C4，C4 為常數。

　　2 多策略協同改進的阿基米德優化算法

　　在全局開發階段，AOA 僅依靠一個隨機個體帶領種群向最優區域尋找最優解，當隨機個體是一個較差的解時，會導致算法尋優精度低，同時，在局部開發階段，種群圍繞最優個體進行位置更新，當最優個體陷入局部極值空間時，種群隨之陷入局部最優，導致算法出現停滯搜索現象;最后，根據式(1)可知，當 TF 的取值范圍為(0.36,0.5)，AOA 進行全局搜索，當 TF 的取值范圍為(0.5,1)，AOA 進行局部開發，這使得算法全局搜索階段過短，未能搜索更廣闊的區域，可能丟失更優的解。綜上所述，本文針對上述 AOA 原理的缺陷，引入對應的策略進行改進。具體策略介紹如下：

　　2.1 隨機高斯變異策略

　　標準 AOA 在全局搜索階段僅依靠種群中某個隨機個體的引導進行種群位置更新，然而隨機個體可能是一個較差的解，導致算法的全局尋優能力較弱。因此，為提高 AOA 的全局搜索能力，本文提出隨機高斯變異策略。在隨機策略中，個體根據其適應度值進行排序，然后從種群中選取排名靠前的 k 個個體引導種群向全局最優區域靠攏。對當前最優個體引入高斯變異，有效地利用當前全局最優個體的位置信息，保證產生的新個體之間進行充分的信息交流，隨機高斯變異策略的數學模型如式(10)所示。 mutation (0,1) / k i best i i X X N k ?? = ? = ? (10) 其中：N(0,1)表示期望為 0，標準差為 1 的正態分布隨機數， Xmutation 為變異后的新個體位置。由高斯分布特點可知，隨機高斯變異策略的重點搜索區域為最優個體附近的區域，有利于算法快速找到全局極小值，增強算法全局搜索最優值的能力。

　　2.2 局部混沌搜索策略

　　在優化領域，混沌映射不斷迭代產生混沌序列，實現對混沌空間的遍歷搜索[13]。局部混沌搜索充分利用混沌映射具有遍歷性、隨機性、不可預測性等特性，在局部開發階段對個體嵌入不同的混沌映射序列，不僅擴大了混沌搜索空間，增加個體信息的多樣性，而且在一定程度上協助算法跳出局部極值空間，從而提高算法的尋優精度。不同的混沌映射產生的混沌序列是完全不同的，由于混沌序列的不重復性和遍歷性，使用混合多種混沌映射的搜索范圍和搜索精度都優于單一的混沌映射。通過研究多種混沌映射所產生的混沌序列分布情況，本文選取 6 個典型的具有獨特分布特性的混沌映射，其數學模型如下所示。 (1)Chebyshev 映射： 1 1 cos( cos ) t t z z ? − + = (11) 其中 zt 是第 t 個混沌值，zt?(0,1)，?=5，z0=0.7。 (2)Sin 映射：Sin 混沌映射是以正弦函數為基礎的混沌映射，其數學模型如式(12)所示。 1 sin( ) 4 t t a z pi z + = ? (12) 其中 a=4，z0=0.7。 (3)Logical 映射：logical 映射作為研究復雜動力系統的經典模型，其數學模型如式(13)所示。 1 (1 ) t k t z z z + = ? − ? (13) 其中 μ=4，z0=0.7。 (4)Singer 映射： 2 3 4 1 (7.86 23.31 28.85 13.302875 ) t t t t t z z z z z + = ? − + − ? (14) 其中 μ=1.073，z0=0.7。 (5)Circle 映射： 1 sin(2 ) mod(1) 2 t t t b z z a pi z pi + = + − ? ? ? (15) 其中 a=0.5，b=2.2，z0=0.7。 (6)Tent 映射：Tent 映射廣泛運用在混沌加密系統，其數學模型如式(16)所示。 1 / 0 = 1 ) / (1 ) 1 t t t t t z z z z z ? ?? ? + ? ? ? ?? − − ? ? (16) 其中 β=0.4，z0=0.7。假設搜索空間為二維，上下界分別為 0 和 1，圖 1 顯示了不同混沌映射迭代 100 次后的波形圖。

　　本文選取 6 個混沌映射，設計了一種混合多種混沌映射的搜索策略，有助于算法專注于在已探索的區域尋找到更好的解決方案，增強種群間的信息交流，保持算法的多樣性。為了將多種混沌映射引入算法的局部開發階段，本文假設有 50%的概率正常更新局部個體位置或在混沌映射之間進行選擇，達到在優化過程中更新個體位置的目的。局部混沌搜索策略的數學模型如式(17)所示。 1 1 2 1 if 0.5 = ( ) _ if 0.5 t t t i best i norm t t new best i x x F c rand acc X d T x x Chaotic value ?? + + − + ? = + ? ? ? ? ? ?? ? ? − ?? ? (17) 其中 θ 為(0,1)的隨機數。

　　2.3 非線性動態密度降低因子

　　標準 AOA 的密度降低因子 d 是協調全局勘探和局部開采的關鍵，由式(2)可知，d 是隨迭代次數非線性遞減到 0 的，在迭代前期，當前最優解與全局最優解相距較遠時，下降較快且值較小的 d 不利于實現算法在解空間內覆蓋性的搜索，在迭代后期，d 值下降過慢會導致算法局部開采能力受限，限制算法搜索能力。為解決此問題，本文受正弦函數思想的啟發，重構密度降低因子，其數學模型如下： 1 2 max ( ) sin( (( ) ) t first first final pi t d d d d ? t + = − − ? ? (18) 其中 dfirst表示迭代開始時 d 的起始值，即當 t=0 時，dfirst=2.7; dfianl 表示迭代結束時 d 的終止值，即當 t=0 時，dfianl=0.01。?控制曲線的平滑程度，經多次實驗驗證，當?=1.8 時，實驗結果最優。由式(18)可知，在迭代前中期全局搜索時，d 值較大且非線性遞減較慢，算法不斷搜索未知區域，具備較強的探索能力。在迭代后期 d 值較小且非線性遞減趨勢逐漸增大，算法的開發性能逐步增強并盡可能在最優解周圍進行精確搜索，以平衡算法全局搜索和局部開發能力。

　　2.4 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略

　　在標準 AOA 中，當 TF>0.5 時，算法進行局部開發，種群中其他個體通過當前最優個體的引導向最優解靠近，如果當前最優個體找到更好的解，整個種群會涌入最優個體附近，導致種群密度過高，種群的多樣性減少，從而使算法陷入局部極值空間。為解決這一問題，本文采用 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略。黃金正弦算法是 Tanyildizi 等人[14]所提出的元啟發式算法,具有尋優精度高，魯棒性好的特點，其通過正弦函數與單位圓的關系，使得種群遍歷單位圓上的所有點，即正弦函數上的所有點，以黃金比例縮小算法的搜索區域。同時引入 Levy 飛行引導機制，利用 Levy 飛行方向和步長的不確定性對種群位置進行擾動，提高算法的多樣性，降低算法陷入局部最優的概率。Levy 飛行的數學模型如下所示。 1/ 2 1 1 ( ) 2 2 ( ) ~ (0, ), ~ (0, ), 1 ( (1 ) sin( ) 2 1 ( ) ) 2 2 Levy N N pi ????? ??? ???? ??????? ? ? − ? = ? = ??? = ???? + ? + ??? ? (19) 其中?是一個常數，決定 Levy 概率密度函數的形狀，本文取?=1.5。 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略更新個體位置的數學模型如式(20)所示。 1 novel 1 2 1 1 2 sin( ) ( ) sin( ) t i t t X X R levy R R x X x X i best i ? + = ? + ? ? ? ? − ? (20) 1 2 (1 ) 2 2 5 2 / 2 x pi pi x pi pi ??? = − + − ? = − + ? = − (21) 其中 R1 和 R2 為[0,2?]、[0,?]的隨機數，決定下一次迭代中個體的移動距離和方向;x1 和 x2 是黃金分割系數，?為黃金分割數，這些系數在每一次迭代中幫助算法引領個體逐步趨近最優值，提高算法的收斂精度和速度。

　　雖然用 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略能夠提高算法的搜索精度，幫助算法跳出局部最優，但是無法直接判斷產生的新個體位置是否優于原始個體位置。因此，采用貪婪策略比較新舊個體適應度值，再決定是否更新個體位置，通過這種方式不斷獲取更優解，從而提升算法的尋優性能。貪婪策略的數學模型如式(22)所示。 1 1 1 1 +1 1 +1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t novel i novel t updata t t t i i novel X f X f X X X f X f X + + + + + ? ? = ?? ? (22)

　　2.5 MAOA 算法實現步驟

　　綜上改進策略，MAOA 執行步驟如下： MAOA 算法偽代碼：設置算法相關參數：種群規模 N、空間維度 dim、種群的搜索邊界 [ub,lb]、最大迭代次數 tmax. while (t

　　2.6 MAOA 時間復雜度分析

　　MAOA 的時間復雜度主要由隨機高斯變異策略、局部混沌搜索策略、非線性動態密度降低因子和 Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略組成。設 AOA 的種群規模為 N，搜索空間維度為 d，最大迭代次數為 T，則標準 AOA 的時間復雜度為 O(N?d?T)。 MAOA 是由標準 AOA 改進而來的，首先計算隨機高斯變異策略時間復雜度，因為個體根據其適應度值排序和選取排名靠前的 k 個個體所需時間為 t1，所以隨機高斯變異策的時間復雜度為 O(N?d?T+t1)=O(N?d?T);其次，設選取 6 個不同的混沌映射所需時間為 t2，每一維按照式(17)更新個體位置所需時間為 t3，則引入局部混沌搜索策略的時間復雜度為 O(N?d?T?t3+t2)=O(N?d?T);再次，設計算非線性動態密度降低因子所需時間為 t4，此階段的時間復雜度為 O(N?d?T+t4)= O(N?d?T);最后，每一維按照式(20)更新個體位置所需時間為 t5，利用貪婪機制比較新舊個體適應度所需時間為 t6，保留最優位置時間為 t7，則 Levy 飛行引導機制的黃金正弦策略所需時間為 O(N?d?T?(t5+t6)+t7)=O(N?d?T)。綜上分析可得， MAOA 的時間復雜度為 O(N?d?T)+O(N?d?T)+O(N?d?T)+ O(N?d?T)= O(N?d?T)。綜上所述，MAOA 的時間復雜度與 AOA 時間復雜度一致，本文針對標準 AOA 的缺陷所提改進策略并沒有增加計算負擔。

　　3 仿真實驗與結果分析 3.1 實驗設計和參數設置

　　仿真實驗環境設置為 64 位 Windows 10 操作系統，CPU 為 Intel(R) Core(TM) i5-7500，主頻為 3.4GHz，內存為 8GB，編程軟件為 MATLAB R2021a。本文挑選 12 個具有不同特征的基準測試函數進行仿真實驗，其中 7 個單峰函數為 f1~f7，5 個多峰函數為 f8~f12，具體取值范圍和理論最優值等信息如表 1 所示。本文選取最新的元啟發式算法—黑猩猩優化算法(ChOA)、均衡優化算法 (EO)、被囊群算法(TSA)、哈里斯鷹(HHO)以及最新改進的均衡優化算法(CfOEO)和改進蝴蝶算法(LBOA)[15]進行比較，它們的參數設置如表 2 所示。

　　3.2 不同改進策略對算法性能影響分析

　　為充分驗證本文所提 MAOA 改進策略的有效性，將標準 AOA 與本文加入隨機高斯變異策略的算法(RAOA)、加入局部混沌搜索策略的算法(CAOA)、加入非線性動態密度降低因子的算法(DAOA)和加入 Levy 引導機制的黃金正弦策略的算法(GAOA)在 12 個具有不同尋優特征的基準測試函數上進行仿真實驗。算法參數統一設置為：種群規模 N=30，搜索空間維度 dim=30，最大迭代次數 tmax=500。通過最優值、最差值、平均值和標準差四個評價指標來評估各算法的尋優性能，仿真實驗結果如表 3 所示。表 3 通過最優值和平均值來反映算法的尋優性能，通過標準差來反映算法的穩定性。首先，MAOA 單峰函數尋優時，六個函數 f1~f4、f6 和 f7 的四個評價指標均達到理論最優值，而對于函數 f5，其形狀類似于拋物面，存在大量局部最優值， MAOA 搜索陷入局部極值空間，其他改進算法也均出現尋優停滯，但是 MAOA 相較于其他改進算法具有更高的收斂精度和穩定性。其次，MAOA 求解多峰函數時，對于函數 f8、 f10~f12 均可以尋到理論最優值，且標準差求解結果穩定，而函數 f9 是具有山谷狀的多峰函數，其全局最優值位于山低端比較難尋，所以 MAOA 與其他改進算法求解 f9 時均為尋到最優，但是 MAOA 無論是在搜索精度上還是在穩定性上均表現出一定的優勢。具體來說，RAOA、CAOA 和 GAOA 求解函數 f1~f4、 f6~f8、f10~f12 有顯著的效果，這是因為隨機高斯變異策略帶領種群向最優解附近靠攏，增強算法全局搜索的能力;局部混沌搜索策略擴大算法的局部搜索空間，協助種群在最優解區域進行精細搜索;非線性動態密度降低因子加強協調算法的全局探索和局部開發能力;Levy 飛行機制引導的黃金正弦策略縮小最佳搜索區域，加快算法收斂速度，并對種群位置進行擾動更新，增強算法跳出局部最優的能力。DAOA 對函數的尋優結果是 4 種改進策略中效果最差的，但其搜索精度和穩定性相較于標準 AOA 也有明顯的提升，尤其是求解函數 f1、f6、f10 和 f12 時。對于函數 f7，DAOA 的平均值劣于 AOA，但差異穩定在一個數量及內，在可以接受的范圍。

　　3.3 MAOA 收斂性分析

　　為了反映SLWChOA的動態收斂特性，在搜索維度為30，獨立運行 30 次的條件下，縱坐標取以 10 為底的對數，采用平均收斂曲線圖描述算法的收斂性。圖 2(a)~(l)給出了 12 個基準測試函數的平均收斂曲線圖。由圖 2 可知，在單峰函數和多峰函數上，在相同的迭代次數下 MAOA 具有更高的求解精度、尋優效率和更快的收斂速度，表明 MAOA 在保證開拓能力的同時也能充分保證搜索能力，不失種群多樣性和尋優穩定性。對于函數 f5 和 f8，雖然 MAOA 與其他改進算法一樣，陷入局部最優難以跳出，但 MAOA 的平均收斂曲線均位于 5 種改進算法平均收斂曲線下方，且達到理論精度所需的迭代次數最少。綜合表 3 的仿真實驗結果和圖 2 的平均收斂曲線圖，可以得出本文所提 MAOA 的有效性，雖然在函數 f5 和 f9 上 6 種算法的搜索精度差距不顯著，但總體來看，MAOA 擁有更強的綜合尋優能力。

　　3.4 與其他最新元啟發式算法對比分析

　　為驗證 MAOA 的優越性和魯棒性，本文將 MAOA 與黑猩猩優化算法(ChOA)[5]、被囊群算法(TSA)[6]、哈里斯鷹優化算法(HHO)[7]、均衡優化算法(EO)[8]、以及最新改進的均衡優化算法(CfOEO)[12]、改進蝴蝶算法(LBOA)[15]進行比較，其中 LBOA 的實驗數據來源于文獻[16]，并復現文獻[12]的實驗，采用與所選文獻相同的實驗參數設置(種群規模 30，最大迭代次數 500)，對于每個基準測試函數的搜索維度分別設置為 30/100/500，獨立運行 30 次，記錄其平均值和標準差，結果如表 4 所示(“—”為缺失數據)。由表 4 可知，對于所選的基準測試函數，無論是單峰函數還是多峰函數，MAOA 的尋優穩定性和求解精度是 6 種算法中最好的。對于函數 f1~f4、f6~f7 和 f11~f12，5 種對比算法求解精度低或無法求解時，MAOA 與 CfOEO 算法求解效果達到100%，可以尋到理論最優值。當求解函數 f5時，盡管 MAOA 同其他算法一樣陷入局部最優，但是其尋優精度優于其他 5 種對比算法。當維度從 30 維上升到 100 維再上升到 500 維時，算法對求解精度和魯棒性均有不同程度下降，這是因為隨著維度的增加，算法搜索空間增大，其難度也呈指數增加，尋優過程需要更多計算，但是相較于 5 種對比算法，MAOA 尋優精度仍最高。因此，MAOA 在求解低維和高維問題時，優勢明顯，搜索能力強，穩定性好，尋優精度高，進一步說明了 MAOA 在解決現實生活中復雜的優化問題時具有顯著的競爭優勢。

　　3.5 MAOA 求解 CEC2014 測試函數問題

　　為了更進一步驗證 MAOA 處理具有復雜特征的問題時的有效性和穩定性，本文選取部分具有復雜特征的 CEC2014 測試函數進行優化求解，所選取的函數類型包括單峰、多峰、混合、復合，其詳細信息如表 5 所示。本文選用 MAOA 與 AOA、ChOA、TSA、HHO 算法、EO 算法、CfOEO 算法來優化 8 個 CEC2014 測試函數。為了保證實驗的公平性，設置空間維度為 30，最大迭代次數為 1000，每個算法分別獨立運行 30 次，結果如表 6 所示。由表 6 可知，EO 算法在單峰函數 CEC03 上表現最好，而 MAOA 尋優精度低于標準 AOA，這是因為局部混沌搜索策略在多種混沌映射上需要進行更多的計算，造成收斂精度有所下降。對于多峰函數 CEC05、CEC12，MAOA 尋優性能排名第一，同時在 CEC16 上，ChOA、HHO 算法、EO 算法和 MAOA 算法尋優精度并列第一。對于混合函數 CEC19， MAOA 求解精度更加接近理論最優值。在復合函數 CEC23、 CEC27 和 CEC28 上，MAOA 的標準差為 0，說明其對于復合特征函數尋優穩定性強。上述 CEC2014 測試函數尋優結果分析表明，MAOA 在求解具有復雜特征的函數上同樣具有很大優勢，進一步表明 MAOA 融合隨機高斯變異策略、局部混沌搜索策略、非線性動態密度降低因子和 Levy 飛行引導機制的黃金正弦策略的有效性和可行性。

　　4 基于 MAOA 的機械設計優化

　　優化問題作為工程設計與應用領域中經常出現的數值約束問題，傳統的機械方法如梯度法，不僅求解效率低，容易陷入局部極值，而且難以解決非線性甚至高維的數值優化問題。區別于傳統方法，本文試圖將所提的新型元啟發式優化算法 MAOA 用于求解機械設計問題，進一步驗證所提算法的適用性和可行性。

　　4.1 機械優化設計問題的數學模型

　　機械優化問題與數學模型有著緊密的聯系。構造優化設計數學模型的關鍵是找到設計變量、目標函數以及約束條件。該問題的數學模型一般可以描述為如下約束優化問題[17]: min max u Minimize ( ) ( ) 0, ,2 , Subject to ( ) 0, 1,2 , , 1,2 , 1 v i f x g x u m h x v p x x x i n ? ? = ? ?? = = ??? ? ? = ? (23) 其中：x 為設計變量，x=x1，x2，x3…xn?f(x)為目標函數，gu 表示第 u 個不等式約束，hv 表示第 v 個等式約束，xmin 和 xmax 分別表示設計變量的上下界。

　　4.2 機械優化設計仿真實驗參數設置

　　本文利用 MAOA 優化 2 個機械設計問題，它們分別為拉伸/壓縮彈簧設計問題和焊接梁設計問題。仿真實驗將 MAOA 與 AOA、引力搜索算法(GSA) [18]、粒子群算法(PSO)、生物地理學優化算法(BBO) [19]、差分進化算法(DE) [20]、蟻群優化算法(ACO) [21]、樽海鞘群算法(SSA) [22]、鯨魚優化算法 (WOA) [23]、帝王企鵝優化算法(EPO)[24]、斑鬣狗優化算法 (SHO)[25]、灰狼優化算法(GWO)[26]、多元宇宙優化算法 (MVO)[27]、ChOA、TSA、HHO 算法進行實驗比較。為了保證對比實驗的公平性，與選取文獻測試條件一致，設置種群大小為 50，最大迭代次數為 1000，每個算法獨立運行 30 次后取平均值

　　4.3 拉伸/壓縮彈簧優化設計案例

　　如圖 3 所示，拉伸/壓縮彈簧設計問題的優化目標是降低彈簧的重量。約束條件包括受到最小偏差(g1)、剪切應力(g2)、沖擊頻率(g3)、外徑限制(g4)以及決策變量包括線徑 d、平均線圈直徑 D 及有效線圈數 P，f(x)為最小化彈簧的重量。拉伸 /壓縮彈簧設計的數學模型描述為設 x=[x1 x2 x3]=[d D N] ( ) ( ) 2 1 2 3 3 2 3 1 4 1 2 2 1 2 2 3 4 2 1 1 1 1 3 2 2 3 1 2 4 1 2 2 3 ( ) 2 ( ) 1 0 71785 4 1 ( ) 1 0 12566 5108 140.45 ( ) 1 0 ( ) 1 0 1.5 0.05 2.0,0.25 1.3,2.0 15.0

　　由表 7 可知，MAOA 可以取得優于或接近于其他對比算法的彈簧重量，可以合理地認為 MAOA 在優化拉伸/壓縮彈簧機械設計問題上是適用的。

　　4.4 焊接梁設計案例

　　焊接梁設計是在 4 個決策變量和 7 個約束條件下，以最小化焊接梁的總費用為優化目標。決策變量分別為焊縫厚度 (h)、鋼筋連接長度(l)、鋼筋高度(t)和鋼筋厚度(b)，其結構優化設計示意如圖 4 所示。

　　其中：τ 為剪切應力、σ 為橫梁彎曲應、Pc 為屈曲載荷、δ 為橫梁撓度，f(x)為最小化設計費用。表 8 是 MAOA 與其他算法獲得最小化設計費用的比較結果。根據表 8 給出的 MAOA 與其他算法優化焊接梁機械設計的結果， MAOA 獲 得 的 函 數 最 優 解 為 [x1,x2,x3]= [0.2014,3.2524,9.0357,0.2058,1.6964]，最優值 f(x)=1.6964，表明 MAOA 能獲得最小化焊機梁設計費用，其有效性優于其他對比算法。

　　4.5 機械設計優化案例小結

　　通過拉伸/壓縮彈簧設計和焊接梁設計的案例驗證，所提 MAOA 可以獲得優于其他對比算法的實驗結果，進一步驗證 MAOA 在實際工程應用問題中的有效性和適用性。

　　5 結束語

　　為改善標準 AOA 的缺陷，本文提出多策略協同改進策略的阿基米德優化算法(MAOA)。首先，利用隨機高斯變異策略提高算法在全局探索階段的搜索效率;其次，對種群在局部階段聚集程度進行分析，引入局部混沌搜索策略，擴大算法搜索空間，有助于算法在已探索的區域尋找到更優解;同時，對標準 AOA 的密度降低因子進行分析，在此基礎上提出非線性動態密度降低因子，彌補算法平衡全局勘探和局部開采能力的不足;最后，采用 levy 飛行引導機制的黃金正弦策略，對種群位置進行擾動更新，不僅增加群體位置的多樣性，而且增強算法跳出局部最優的能力。

　　第 1 組不同策略在基準測試函數上的仿真實驗表明，與標準 AOA 相比，所提 4 個改進策略均達到很好的效果，融合 4 個改進策略后的 MAOA 在收斂精度和速度上均有顯著的優勢。

　　第 2 組與最新的元啟發式算法在不同維度上進行基準測試函數仿真實驗，實驗結果表明 MAOA 具有明顯的尋優優勢，同時在處理高維問題上保持較好的尋優性能和魯棒性。

　　第 3 組是基于部分 CEC2014 復雜特征函數的測試，與 6 種最新的元啟發式算法相比，MAOA 具有較強的競爭力。

　　第 4 組實驗通過優化兩個機械設計案例，驗證了 MAOA 在實際問題中的適用性和可行性，為解決復雜的工程約束問題提供了一條新途徑。

　　下一步的研究方向是把改進算法運用到多閾值圖像分割和神經網絡優化等領域。