作為一線教師，幾乎每天都面對“數學教學”．

那么，“數學教學”到底應該教學生學些什么?是一個不得不思考的問題．本文結合筆者的教學實踐，談一些想法，與同行交流，不當之處，敬請指正．

1教學生構建新概念的方法

怎樣教學生“建構新概念、新方法”?不應是教師直接把概念、方法告訴學生，而是在教師的啟發引導下，讓學生質疑、發現、探究、歸納、判斷、概括新概念，即教會學生自己去建構．案例l數系的擴充與復數的引入

1．1創設情境提出問題

【問題1】將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40，這兩部分分別是多少?

【師生活動】學生在解決問題的過程中發現了矛盾：在實數范圍內無法解決此問題．教師啟發引導：既然實數集不夠用了，應怎么辦?——必要性產生了．需要將實數集進行擴充，于是提出了本課要研究的問題．

1．2啟發引導尋找方法

【問題2】以往的學習中有沒有遇見過類似的問題?

【師生活動】教師啟發引導：如果遇見過，解決了什么問題?怎樣解決的?解決的過程有什么規律(共同的特點)?這些規律對解決當前的問題有什么借鑒作用?在教師的啟發引導下，學生回憶起從自然數集——整數集——有理數集——實數集的擴充過程，并尋找解決問題的方法．

1．3回顧歷程探究規則

【問題3】每次擴充解決了什么問題?怎么解決的?

【師生活動】學生總結：自然數集減法運算不夠用，引進負數，擴充到整數集，使減法運算得以實施；整數集除法運算不夠用，引進分數，擴充到有理數集，使除法運算得以實施；正數開方運算不夠用，引進無理數，擴充到實數集，使正數開方運算得以實施．

【問題4】解決問題的規律是什么?

【師生活動】學生總結：原數集有某運算不能實施；引進新數(原數集包含于新數集)；使運算能夠進行；原有的運算及其性質在新數集仍然保持．

1．4引進新數建構概念

【問題5】數系擴充的規則對當前的問題有什么借鑒作用?

【師生活動】教師啟發引導，師生達成共識，引進i2=一1，i稱為“虛數單位”．復數的表示方法z=n+6i(n，6∈R)，以及實部、虛部、復數集的概念及符號表示．師生就大家舉出的復數例子，探討復數的分類．

1．5結合例題探究復數相等

【例題】實數m取什么值時，復數2=m(m—1)+(m一1)i是(1)實數?(2)虛數?(3)純虛數?

【師生活動】學生解答問題．教師啟發引導：由這三個等式，你能得出什么結論?兩個復數什么情況下相等?從等號左右兩邊的復數相等，你能得出什么結論?要使兩個復數相等需要滿足什么條件?學生反思總結，給出復數相等的條件．

1．6回顧反思歸納小結

【問題6】通過本節課的學習，你有哪些收獲?

【師生活動】在教師的啟發引導下，學生歸納總結．在知識層面上的收獲，如復數定義；復數分類；復數相等定義．同時，也總結出在方法層面上的收獲，如怎樣提出問題；怎樣建構一個新概念等．

案例1的第一部分的教學，教師首先提出了卡爾丹問題．在解決時，學生發現在實數范圍內無法解決．既然實數集不夠用了，該怎么辦?需要把實數集擴充．怎么想到的?人類解決問題的最本源的方法就是從已有方法中尋找未知方法；從已有知識中尋找未知知識；從已解決的問題中尋找新問題的解決方法．正足因為我們在前面有過擴充數集的經歷，現在遇到了實數集范圍內不能解決的問題，所以才想到了需要擴充數集．

接下來，在教師的啟發引導下，學生回顧了數系的擴充過程，并總結出數系的擴充規則．為什么要總結數系的擴充規則?因為在解決如何引入復數時，它是要作為方法來使用的!這也正是教材把“數系的擴充”作為本節課內容的真正原因．到此完成了本節課的第一部分內容的教學．

這就是在教學生學“尋找解決新問題的方法”．如果把此部分的教學改為，上課伊始，就讓學生回顧數系的擴充過程，然后再總結擴充的規則，學生就根本感受不到為什么要研究這些內容，只能被教師牽著鼻子走．雖然知識也能學會，但能力的培養就弱化了．

第二部分的教學，這些規則對當前的問題(問題1)有什么借鑒作用?——引進新數．怎樣引進新數?引進什么樣的新數?回到一開始的問題——~／一15不能表示為實數，卡爾丹稱之為“怪物”．這樣的“怪物”很多，最簡單的是凡教師啟發觀察廳和／=萬的共同點，學生發現廳=1×廳，v廠=兩一~／15×~／一1，也就是說它們都可看成是實數x~／一1．需要引進~／一1作為新數，但負數開平方總難以接受，容易歧義，書寫麻煩，數學追求簡潔，越簡單越好，于是用“i”表示廳，即廳=i或i2=一1，i稱為“虛數單位”．前面出現的那些數就表示成：土i，土~／15i，5士~／15i，它們都稱為“虛數”．通過觀察這些數的特點，還能給出它們統一形式，即z=口+扼(口，6∈R)．教師再介紹實部、虛部、復數集的概念及符號表示．結合大家舉出的復數例子，探討了復數的分類；結合課堂例題，探究了復數相等的定義．

至此，完成了復數定義的整個建構過程．這就是在教學生學“建構新概念、新方法”．在此教學中，我們可以看到復數的概念不是由教師直接給出的，而是在教師引導下，學生自己在解決問題的過程中，經過觀察、比較、概括、抽象等思維活動，逐步概括得到的，這一過程與前人形成這個概念所經歷的過程有某種一致性．任何新的概念都應從無到有地建立起來．從卡爾丹發現~／一15，到歐拉用新符號i表示~／一1有200多年，雖然我們不可能在一節課中走完200多年的歷程，但我們可以盡可能的讓學生經歷概念建構的過程，從中也能感受到定義其中的合理性．