對于財政收入和經濟增長關系的計量方法主要是兩種:一是簡單線性回歸，以財政收入或其變形形式作為因變量，以GDP或其變形形式作為自變量進行回歸分析。該方法的優點是容易實施，結果解釋直觀。但其要求財政收入和GDP之間具有線性關系，這個要求在實際當中顯然不一定符合，這就影響了模型的實際效果。二是協整理論和誤差修正模型。協整理論和誤差修正模型突破了線性回歸模型的線性假設，在財政收入和GDP非平穩的情況下，只要二者具有協整關系，就可以用誤差修正模型來擬合二者的關系。但誤差修正模型本質上仍是參數模型，有一定的假設條件。從財政收入和GDP的散點圖上很難發現二者之間具有何種參數關系，采取參數模型導致模型誤設的可能性很大。非參數模型的限制條件較少，具有較強的適應性。因此，為克服前述方法存在的一些問題，本文將采用非參數回歸對財政收入和GDP之間的關系進行擬合。

非參數回歸構建方法

非參數方法是于20世紀80年代在統計學領域逐漸發展起來的一種現代統計方法。近10幾年來非參數方法在經濟學領域了應用越來越頻繁，非參數計量經濟學是當前計量經濟學發展的一個熱點。這里對本文將用到的非參數回歸方法作一簡單介紹。本部分下面的內容主要來自BowmanandAzzalini(1997)[9]。回歸是最廣泛使用的統計工具之一。線性建模從各種意義上來說都是發展和認識充分的，并且存在許多有用的工具檢查相關的假設。但是，存在由于數據的內在的非線性而導致線性模式不適用的情況。非參數回歸致力于提供一套解決這類數據的建模方法。

1模型和估計

對于模型y=m(x)+ε,其中y表示因變量，x表示自變量，ε表示具有0均值方差為σ2的相互獨立的誤差項，m(x)代表y與x的關系。當m(x)的函數形式已知，僅需估計函數中未知參數時，此時為參數回歸；當對m(x)的具體函數形式不作具體的假定，僅要求其為光滑曲線即可，這就是非參數回歸。“光滑”在非參數回歸中具有特別重要的意義，沒有這個要求，則最佳估計就是簡單把各個數據點用線段連接起來，這顯然沒有意義。因此，對于光滑方法的研究是非參數領域的中心問題之一。已經發展起來的非參數光滑方法有很多，比如核函數光滑，樣條光滑，多項式光滑等。本文非參數回歸將使用核函數光滑技術。核函數回歸又有不同的方法，例如最緊鄰估計，核平均估計，局部線性估計等。對于m(x)的估計本文采取局部線性回歸。核函數w(z;h)一般是具有0峰并隨著z增大而單調遞減的光滑的正值函數。這將保證最大的權重賦予那些協變量值xi離感興趣的點x最近的觀測值。為了簡便，標準差為h的正態密度函數一般用作核函數。

2光滑參數的選擇

光滑參數h控制著核函數的寬度，進而控制估計的非參數回歸曲線的光滑程度。當光滑參數過大時，得到的估計會失去數據的曲度的一些細節，導致估計過光滑。當光滑參數過小時，估計開始過于密切追蹤數據，這將導致估計欠光滑。顯然，有效的平衡是必須的，這就是光滑參數的選擇問題。解決光滑參數選擇問題的一個簡單方法就是在每一個點x處定義均方誤差E{m(x)-m(x)}2，其為偏倚的平方與方差項之和。為了構造一個代表估計量整體行為表現的測度，可以對均方誤差在自變量觀測值上求和。為此可以引進積分的均方誤差：MISE(h)=∫E{m(x)-m(x)}2f(x)dx其中f(x)代表自變量的密度。MISE是光滑參數h的函數，因此可以通過求MISE的最小值來得到光滑參數的最優值hopt。交叉驗證提供了一種流行的選擇光滑參數的方法，其是通過構建MISE的估計量并選擇h來求最小值。交叉驗證的思想是通過剩余的數據來預測每一個因變量值yi。對于每一個值yi，預測值可以記為m-i(x)，其中下標-i表示觀測值(xi,yi)被刪除。

4置信帶的構建

當假設誤差具有正態分布時，那么非參數估計量m(x)也服從正態分布。即使誤差分布不能假設是正態的，在較弱的假設下采用中心極限定理就可以認為m(x)近似服從正態分布。但由于估計量m(x)的有偏性，這將導致對于非參數回歸曲線構建一般意義上的置信帶相對較困難。另一種方法滿足于顯示非參數回歸估計量的變異水平，而不試圖去調整不可避免的偏倚。這種類型的帶易于構建但需要謹慎的解釋。正式地，帶狀顯示了E{m(x)}而不是m(x)的點置信區間。僅需要m(x)的方差估計就可以了。置信帶可以構建來指示m(x)的上下兩倍標準差。為了區別于正式的置信帶，一般使用變異帶這個術語以示區別。本文的實證部分給出了估計的非參數回歸曲線的變異帶。

實證分析

本文討論中國財政收入增長率與經濟增長率之間的關系。在具體變量選擇上，財政收入使用統計年鑒中的財政收入指標，經濟指標則采用國內生產總值，由于財政收入統計數據一般以當年價格計算，故其增長速度也是名義上的增長速度，為了具有可比性，經濟增長率也采取GDP的名義增長率。為了盡可能得到較大容量樣本，所選取數據的時間跨度為1953~2010年。數據來源為《新中國六十年統計資料匯編》和《中國統計年鑒2011》[10,11]。首先給出數據的描述性分析，作出財政收入增長速度和GDP名義增長率的線圖以及他們之間的散點圖，具體見圖1。在線圖中，我們可以發現：GDP名義增長率和財政收入增長速度各自隨時間變化的規律并不明顯。GDP名義增長率的最低谷出現在1960年附近，最高峰出現在1990~1995年之間；財政收入增長速度的最低谷也出現在1960年附近，而最高峰出現在1970~1975年之間。整體上，財政收入增長速度基本上與GDP名義增長率是同向變動的，但財政收入增長速度的變化波動幅度更大。在散點圖中，財政收入增長速度和GDP名義增長率之間確實存在一定的關系，但基本不符合線性關系。為了比較，首先還是給出二者之間的線性擬合，然后再對二者之間的關系進行非參數擬合，給出非參數回歸的結果。

1簡單線性回歸模型

下面以財政收入增長速度為因變量(記為FINRate)，以GDP名義增長率為自變量(記為GDPNominalRate)，在1953~2010年58對數據擬合二者關系的簡單線性回歸模型，估計方法采取普通最小二乘法(OLS)。估計的回歸方程為：FINRate=0.03628+1.007GDPNominalRate.估計的方程中GDP名義增長率的系數通過了檢驗，是顯著的，但調整的R2僅為0.46，方程的估計效果較差。實際上，回歸系數為1.0072，非常接近于1，即線性回歸模型認為財政收入增長速度與GDP名義增長率之間幾乎是同步變化的，這顯然不符合實際情況。

2局部線性非參數回歸模型

從上面散點圖可以看出，財政收入增長速度和GDP名義增長率之間的具體關系難以確定，對于這種情況，非參數回歸可以作為建模方法。下面使用的非參數回歸為前面介紹的局部線性回歸，光滑參數的選擇方法為交叉驗證，實現軟件為R，具體采用的是由BowmanandAzzalini開發并維護的sm包中的sm．regression函數。局部線性非參數回歸的結果如圖2所示，圖中的虛線為估計曲線的變異帶，為了比較，將上面估計的回歸直線也在圖中給出。從圖中可以看出，GDP名義增長率取值在比較正常的范圍(0%-20%)內時，財政收入增長速度和GDP名義增長率之間近似于線性關系，但對于一些GDP名義增長率的極端值情況，二者的關系則已經嚴重偏離了線性關系，必須用非參數回歸的曲線來表示二者之間的關系。因此，非參數回歸的結果具有更強的穩健性。

結論

本文主要考察了1953~2010年期間中國財政收入增長速度和GDP名義增長率之間的關系。由于二者之間存在明顯的非線性關系，簡單線性回歸的估計效果較差。因此文中采用了非線性回歸來擬合二者之間的關系，從而較好解決了以前一些學者認為二者之間關系難以確定的問題[12]。分析結果顯示GDP名義增長率取值在比較正常的范圍(0~20%)內時，財政收入增長速度和GDP名義增長率之間近似于線性關系，超出這個范圍，二者之間的關系具有非線性關系，并且非參數回歸給出了GDP名義增長率在整個范圍內變化時二者之間的關系曲線。雖然非參數回歸給出了二者關系的較好的一個擬合，但由于非參數回歸只是用一條回歸曲線來代表二者關系，而不能給出二者關系的具體的表達公式，因此對于二者關系的進一步分析具有一定的局限性。（本文作者：金林、劉洪 單位：中南財經政法大學統計與數學學院）