骰子模型中和概率的計算研究分析

　　摘要：概率論中的骰子模型在許多領域有著重要的應用，本文研究投擲多次骰子時，點數之和的概率計算問題.應用生成函數法得上述問題簡潔的概率計算公式，并考慮它的推廣情形，最后給出幾個計算的例子.

　　本文源自牡丹江師范學院學報(自然科學版),2020(03):7-9+74.《牡丹江師范學院學報》(自然科學版)(季刊)創刊于1975年，是由黑龍江省教育廳主管、牡丹江師范學院主辦、國內外公開發行的綜合性學術期刊(季刊)。主要欄目：數學、物理、化學、生命科學、黑龍江省農林研究、地理科學、計算機理論及應用、體育理論研究、教育理論研究等欄目。本刊堅持社會主義辦刊方向，貫徹黨的“百花齊放，百家爭鳴”方針，堅持嚴謹科學，求實創新，大膽探索的辦刊方針，鼓勵理論和經驗研究相結合的學術取向，提倡學術批評和交鋒。

　　骰子模型有著廣泛的應用.[1,2,3,4]蘇有菊和魏首柳應用列舉法、生成函數方法、母函數法、組合數法給出了投擲次數為2次或3次，點數之和為7或9時概率的具體計算例子.[5,6]本文將對生成函數法展開深入探討，給出一個結構優美的計算公式，進一步給出任意面體的推廣“骰子”，在n次投擲后的點數之和為m的概率計算公式.

　　1、主要結論

　　假設一個傳染源在一個周期內傳染的個體數可能是1個、2個直到6個，且假設等可能的，即每個概率均為.n個這樣的傳染源在一個傳染周期內，有m個個體被傳染上的概率是多少?這個問題可以被抽象為一個骰子被投擲n次，點數之和為m的概率.這是一種在傳染病傳播研究中一種非常有用的短期模型———骰子模型.應用生成函數和冪級數展開，給出n次投擲骰子過程中點數之和概率計算的一個簡潔定理，并考慮它的推廣情形.

　　定理1設有一個均勻的骰子，對其投擲n次，得到點數之和為m的概率為

　　其中m-n-6a≥0,a滿足不等式的最大非負整數.

　　1. 證明首先，構造一個多項式的n次方，m次方項的系數即為在n次投擲過程中，點數之和為m的組合數.

　　對最后一項應用冪級數展開得

　　在n次的投擲實驗中，出現的次數為m，分成以下情況討論：

　　2. 第一項取xn，第二項取Cn1(-x6)1，第三項取

　　3. 第一項取xn，第二項取Cn2(-x6)2，第三項取

　　綜合1,2,3,4所得到的結論，可以看出次數為m的組合數為

　　其中，m-n-6a≥0.a滿足不等式的最大非負整數.

　　按古典概型的計算公式，其概率為該組合數除以樣本點總數.點數m為的概率為：

　　定理2設有一個k個面的均勻的骰子，對其投擲n次，得到點數之和為m的概率為，其中m-n-ka≥0,a滿足不等式的最大非負整數.

　　證明類似定理1，此處不再贅述.

　　2、數值例子

　　例1設3次投擲骰子，點數和為9的概率.[5]

　　解m=9,n=3,9-3-6a≥0,a的取值為1,

　　例2設3次投擲骰子，點數和為8的概率.[6]

　　解m=8,n=3,8-3-6a≥0,a的取值為0,

　　例3設3次投擲骰子，點數和為7的概率.[5]

　　解m=7,n=3,7-3-6a≥0,a的取值為0,

　　上述結論與文獻[5,6,7]中完全一致.

　　參考文獻：

　　[1]李光正.從隨機試驗到隨機過程的概念演化[J].牡丹江師范學院學報:自然科學版,2014(4):7-9.

　　[2]劉常彪,李臻臻.關于泊松分布高階矩的一些研究[J].牡丹江師范學院學報:自然科學版,2014(2):5-6.

　　[5]蘇有菊.論概率論與數理統計中“骰子”問題的概率[J].普洱學院學報,2017,33(6):21-23.

　　[6]魏首柳.概率論與數理統計中“骰子”問題的概率探討[J].南陽師范學院學報,2011,10(3):18-20.

　　[7]屈婉玲,耿蘇云,張昂立.離散數學[M].北京:清華大學出版社,2008.56-72.