1幾種常見的插值

第一，分段線性插值；所謂分段線性插值是通過相鄰的兩個基點(diǎn)作為線性插值，其主要的優(yōu)點(diǎn)是可以克服拉格朗日（Lagrange）插值在計(jì)算過程中可能出現(xiàn)的數(shù)值不收斂性。使用該方法處理數(shù)據(jù)主要是增加了插值的基點(diǎn)，從而進(jìn)一步的提高了數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。但是，通過幾何方法分析，分段插值法存在著基點(diǎn)處不光滑等缺點(diǎn)。盡管分段線性插值的精度可能會差一些，但是在實(shí)際中還是有著廣泛的應(yīng)用，比如在水文地質(zhì)學(xué)的計(jì)算中，就因其不會出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象而常常被使用。

第二，三次樣條插值；這種方法最大的特點(diǎn)就是客服了上述兩種方法存在的不足，即基點(diǎn)處的不光滑，以及插值的不收斂性。但是，使用三次樣條插值法必須要滿足下列條件：首先，y(x)在每個子區(qū)間上的次數(shù)都不能多于3；其次，y(x)、y'(x)以及y＂（x）在插值區(qū)間上必須是連續(xù)的等。使用三次樣條插值可以降低多項(xiàng)式的次數(shù)，從而使得計(jì)算的結(jié)果具有較高的光滑性。

第三，近點(diǎn)法；該方法是按近點(diǎn)距離加權(quán)平均法的簡稱，其主要的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算程序設(shè)計(jì)步驟簡單，而且計(jì)算的速度也相對較快，而且使用該方法得出的等線值圖的光滑性是比較令人滿意的。該方法的缺點(diǎn)就是其唯一性較差，計(jì)算結(jié)果和選擇點(diǎn)的數(shù)量有直接的關(guān)系，如果選擇的點(diǎn)數(shù)不同，那么得到的數(shù)值就會不同。而且該方法的使用范圍也受到一定的限制。

第四，方位法；這種方法的全稱是四方位按距離加權(quán)平均法。該方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度快，但是在計(jì)算不均勻的數(shù)據(jù)時，獲得的插值效果較差。如果用該方法在水文地質(zhì)中的含水層厚度空白區(qū)插值計(jì)算，則會出現(xiàn)去全局趨勢不吻合的現(xiàn)象。分析其原因，主要是因?yàn)榉轿环ǐ@得插值是由一個插值點(diǎn)上的四個數(shù)據(jù)點(diǎn)來決定的，當(dāng)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)分布較為稀疏的時候，這種方法則不能包含所有的信息。所以，在實(shí)際的應(yīng)用中要根據(jù)具體的情況來決定是否使用該方法。

第五，雙三次多項(xiàng)式曲面片擬合法（曲面法）；該方法適用于按規(guī)律分布的數(shù)據(jù)，在這種條件下，該方法可以發(fā)揮其擬合度高的優(yōu)點(diǎn)。而且我們可以利用相鄰結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，將整個區(qū)域組合成一個連續(xù)的大曲面。但是，不足的是該方法只能用于規(guī)則的數(shù)據(jù)，這使其使用價(jià)值顯著降低。而且其程序設(shè)計(jì)也相對復(fù)雜。

第六，加權(quán)二乘法；雖然該方法需要考慮的因素較多，但是使用該方法所得到的圖形可以較好的反應(yīng)一定的變化趨勢，而且圖形的平滑性相對較好，也有較好的唯一性。但是，由于計(jì)算每一個插值都需要解一個一次方程組，所以影響了計(jì)算速度。

2在水文地質(zhì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)插值法應(yīng)該注意的問題以及改進(jìn)方法

首先，有效的處理好方位因素的影響；對插值方法影響較大的是出現(xiàn)數(shù)據(jù)分布不均勻的時候。當(dāng)數(shù)據(jù)分布不均勻時，對加權(quán)二乘法的影響最為顯著，主要是因?yàn)楫?dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)的選擇不當(dāng)，會使去面片發(fā)生異位。對于該問題，筆者認(rèn)為可以采取以下兩種措施來盡可能的避免誤差的出現(xiàn)：第一，用方向性對數(shù)據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償；第二，以插值點(diǎn)為中心，進(jìn)行角限選值，主要是將平面分成n等分，然后在每一個角限域內(nèi)選擇合適的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。其次，科學(xué)的選擇權(quán)函數(shù)；主要是針對近點(diǎn)法以及加權(quán)二乘法。所以，筆者認(rèn)為根據(jù)不同條件下水文地質(zhì)學(xué)計(jì)算的要求，我們選擇不同的權(quán)函數(shù)。第三，斷層問題的處理；在水文地質(zhì)學(xué)中經(jīng)常會遇到斷層問題的計(jì)算。但是，從實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)看來，如果使用斷層兩側(cè)的數(shù)據(jù)來計(jì)算插值是不符合邏輯的。筆者認(rèn)為，在遇到斷層需要計(jì)算時，可以在程序的設(shè)計(jì)中將斷層假定為簡單的直線或是曲線f（x）。這樣在計(jì)算時，可以將斷層分成幾段不連續(xù)的曲面，在計(jì)算的過程中就可以對其進(jìn)行有效的控制。但是，如果用將斷層用直線表示，則可以用：（fx,y）=y-(b+bx)。第四，數(shù)據(jù)點(diǎn)的選擇；當(dāng)需要處理的數(shù)據(jù)很多的時候，選擇有效的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)成為計(jì)算效率和準(zhǔn)確率的關(guān)鍵。如果選擇的點(diǎn)過多，則會導(dǎo)致計(jì)算量加大，相反，如果選的點(diǎn)不夠則會影響數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。通過實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)，在距離Z點(diǎn)近的數(shù)據(jù)點(diǎn)對數(shù)據(jù)的影響是最大的，而較遠(yuǎn)的點(diǎn)影響相對較小，所以，選擇近點(diǎn)的4到8個數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算就可以達(dá)到一定的精準(zhǔn)度。

3結(jié)束語

水文地質(zhì)學(xué)在實(shí)際的應(yīng)用中，對我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展，以及國土規(guī)劃和整治以及城市的現(xiàn)代化建設(shè)，環(huán)境的保護(hù)等，都發(fā)揮著重要的作用。而數(shù)學(xué)插值法在水文地質(zhì)學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，對于水文地質(zhì)學(xué)的快速進(jìn)步起著促進(jìn)作用。在水文地質(zhì)學(xué)中，應(yīng)用的幾種常見的數(shù)學(xué)插值法，在實(shí)際的應(yīng)用中，都必須考慮到實(shí)際的環(huán)境，對其應(yīng)用應(yīng)該做到具體情況具體分析，這樣才能提高計(jì)算的效率和準(zhǔn)確度。與此同時，當(dāng)前用的數(shù)學(xué)插值法還存在著不足，還需要進(jìn)一步的努力來逐漸的完善，并能夠結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)使其計(jì)算的速度和準(zhǔn)確度有更大的提高。

本文作者：羅明光、魏芳 單位：廣西水文地質(zhì)工程地質(zhì)勘察院