基于保結構方法的航天器中微電子器件布局優化

　　摘要 航天器中的精密微電子器件布局影響著航天器局部振動特性，反過來，航天器的局部振動影響著精密微電子器件穩定性和精度.基于此，本文對航天器中微電子器件的布局進行了優化，以降低結構局部振動對微電子器件的影響。在每一步優化迭代過程中，微電子器件固定在一薄板上，薄板通過螺釘固接在航天器結構本體上，使用關注系統局部幾何性質的保結構分析方法分析該薄板結構的局部振動特性。本文的優化方法和優化結果為航天器中精密微電子器件的布局設計提供參考。

　　本文源自蔣睿嵩; 徐萌波; 胡偉鵬， 動力學與控制學報 發表時間：2021-05-06 09:31 《動力學與控制學報》雜志，于2003年經國家新聞出版總署批準正式創刊，CN:43-1409/O3，本刊在國內外有廣泛的覆蓋面，題材新穎，信息量大、時效性強的特點，其中主要欄目有：能夠反映學科水平的理論、實驗和應用研究論文、并適量刊登綜述性專題論文等。

　　關鍵詞 保結構， 布局優化， 微電子器件， 廣義多辛

　　引言

　　航天器中的精密電子元器件容易受到航天器工作過程中的過大慣性力作用而影響其工作性能。特別是航天器的局部振動特性，如：共振等，甚至會造成特定位置的電子元器件失效，導致航天任務失敗。因此，航天器中的電子元器件往往會被集中布局在航天器某一局部空間(如圖 1)[1]。

　　已有研究表明[1, 2]，航天器中電子元器件的不同布局位置在一定程度上影響著航天器局部動力學特性，因此，航天器中的電子元器件布局優化問題是航天器設計的重要內容之一。

　　在布局優化方面，Liu 等人[1]將電子元器件的布局優化簡化為一個 NP 問題，為本文發展微電子器件保結構優化算法提供了重要借鑒。陶鴻飛和崔升 [3]通過對壓電梁、板結構振動主動控制進行了分析，實現了壓電執行器粘附于懸臂梁上的最佳布局。Jia 等人[4]考慮土體與結構的相互作用，利用非連續布局優化(discontinuity layout optimization，簡稱DLO)方法實現了塊狀結構的穩定性分析。Nanayakkara 等人[5]針對張拉結構拓撲優化問題，給出了一種簡單 的 布局優化 數值方法 。 Ambrozkiewicz 和 Kriegesmann[6]針對機械部件及關節設計問題，發展了能夠同時實現結構拓撲和布局優化的數值方法。

　　上述布局優化方法雖然解決了部分工程問題中的布局優化難題，但是，對于航天器中的電子元器件的布局優化問題，上述布局優化方法并不適用，原因是航天器中電子元器件的布局優化的目標是使得電子元器件布置位置的振動特性滿足電子元器件工作條件的要求，關注的是航天器局部振動特性。無限維動力學系統的保結構分析方法[7-12]的優勢正是能夠很好地重現動力學系統局部動力學行為，為航天器中的電子元器件布局優化提供了新的途徑。無限維系統的保結構分析方法源于馮康先生針對有限維系統建立的辛幾何算法[13]和 Bridges 等人針對無限維 Hamilton 系統建立的多辛算法[14, 15]，已被廣泛應用于航天動力學問題分析過程中。

　　本文將針對航天器中微電子器件的布局優化問題，通過建立微電子器件與柔性支撐薄板耦合動力學模型，發展耦合動力學模型的保結構分析方法，實現該耦合動力學問題的保結構分析，在此基礎上，對電子元器件的布局進行優化，為航天器局部結構設計提供參考。

　　1 微電子器件與柔性薄板耦合動力學模型

　　本節考慮若干個微電子器件粘接在柔性薄板上(如圖 2)，在計入微電子器件質量、忽略微電子器件尺寸假設條件下建立其動力學控制方程。

　　如圖 2，假定微電子器件尺寸遠小于圓形柔性薄板的平面尺寸，則微電子器件的尺寸可以忽略不計，其對結構的作用簡化為質點，即體現在薄板面密度參數?( , ) x y 中。柔性薄板通過 8 個螺栓與航天器連接，忽略螺栓與航天器連接間隙，航天器結構通過 8 個螺栓傳遞載荷至薄板，引起薄板振動。

　　參考薄板理論[16]，薄板應變能表述為： 1 2 2 2 2 2 2 2 {( ) 2(1 )[ ( ) ]}d 2 U D u u u u u xx yy p xx yy xy ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 其 中 ， u u t x y = ( , , ) 是薄板面 外撓度 ， 2 2 2 ? ? ? ? {( , ) } x y x y R ， 3 2 12 1( ) D E p ? h ??為薄板抗彎剛度， E 為薄板材料的彈性模量，? p 為薄板材料的泊松比，h 為薄板厚度，R 為圓形薄板的半徑。薄板面外振動動能為： 1 2 ( , ) d 2 T x y u ? t ?? ? ? ? (2)其中?( , ) x y 為薄板在 ( , ) x y 處的面密度。

　　由變性能和面外振動動能，得到薄板振動的拉格朗日函數： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( , ) d 2 1 {( ) 2(1 )[ ( ) ]}d 2 t xx yy p xx yy xy L x y u D u u u u u ????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (3)

　　考慮薄板材料線性阻尼 c 及航天器結構通過螺栓 傳 遞 到 薄 板 上 的 沖 擊 載 荷 F F t x y = ( , , ) ( 1,2, ,8) ? ? ? ? ? ? ? ? ，采用 Hamilton 變分原理，即可推導得到薄板動力學控制方程： 8 1 ( , ) ( 2 ) tt t xxxx xxyy yyyy x y u c u D u u u F????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (4) 需要說明的是，上述模型是在線彈性范圍內建立的，考慮薄板柔性主要是因為薄板尺寸較大。

　　2 耦合動力學模型的保結構分析方法

　　通過引入正交變量： , , , ( ) , , t x x x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? u u w w q u v ? ? ? ? , ( ) y y ? ? ? ? ? v p ? ? ?， 并 定 義 狀 態 向 量 ： T z ? ( , , , , , , , ) u w q v p ? ? ? ，薄板振動方程(4)可以寫成如下多辛對稱形式[17]：

　　M z K z K z z ? ? ? ? ? ? ? t x y z S (5) 上式是一個廣義多辛 形 式 [7] ， 其中， 8 8 1 2 , , ? M K K R ?為反對稱矩陣：

　　哈密爾頓函數為; 2 8 2 2 1 ( ) ( , ) 2 ( ) ( ) 2+ S x y D wq pv D u F??? ? ??? ??? ? ? ? ?? ? ? z (6) 對圓形薄板面域： 2 2 2 ? ? ? ? {( , ) } x y x y R 采用空間步長?x 和?y 進行均勻剖分，并對系統(5)采用時間步長?t 進行 Preissmann 離散，消去中間變量，得到與 Preissmann 格式等價的保結構差分格式： 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 , , . , , 3 2 1 1 , , , , , 2 4 4 4 , 1, , 1, 4 2 2 2 2 1 2, 1 ( , ) ( 4 6 4 ) 4 ( 5 10 10 5 4 ) ( 2 ) 2 ( j j j j j t i k t i k t i k t i k t i k j j j j j t i k t i k t i k t i k t i k j j j j t i k x i k x i k x i k x y i k i k u u u u u t c u u u u u t D u u u u x D u x y ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ???? ? 2 2 2 2 2 , 1 2, 1 2 8 4 4 4 1 2 4 , 1 , , 1 1 2, 1 2 1 2 ) ( 2 ) ( ) j j j x y i k x y i k j j j j y i k y i k x i k i k u u D u u u F y ??? ? ? ?? ? ?? ??? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? (7) 其 中 ： 1 2, 1 2 , 1, , 1 1, 1 1 ( ),? u u u u ? ? ? ? ? , 1 1 , , , j j j t i k i k i k ? u u u ? ?? ? , 4 , 2, 1, , 1, 2, 4 6 4 j j j j j j x i k i k i k i k i k i k ? u u u u u u ? ? ? ? ? ? ? ? ?等。

　　差分格式(7)中 1 2 1 2, 1 2 ( )j F? i k ?? ?依據下式確定： 1 2 1 2, 1 2 ( , , ) ( ) 0 ( , , ) j i k F j i k F j i k ???? ?? ? ?? ?? ? ? (8) 其中： {( , , ) ( 1) , ( 1) , ( 1) } j i k j t t j t i x x i x k y y k y ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?需要說明的是，公式(7)中?( , ) i k 的計算依據下式確定： 0 0 ( , )= + l i k m x y ???? ??? ? ?? ? ?內無微電子器件內有1個微電子器件 (9) 其中， ? 0 為未粘接微電子器件的柔性薄板的面密度 ， ( 1,2, , ) m l n l ?為 柔 性 薄 板 區 域 ={( , ) ( 1) , ( 1) } l l ? i k i x x i x k y y k y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?內微電子器件的質量，( , ) l l x y 為第 l 個微電子器件在圓形薄板上的坐標值。值得注意的是，由于薄板面內網格尺寸較小，實際的微電子器件之間由于散熱等要求，可以假定一個網格內至多能粘接一個微電子器件，這一假定將會具體體現在優化問題建模過程中。

　　3 微電子器件布局優化模型及數值算例

　　考慮 n 個微電子器件粘接在同時受 8 個沖擊載荷作用的柔性薄板上的情形，以 n 個微電子器件粘結處薄板振動最大加速度的加權平均值最小為優化目標，建立如下微電子器件布局優化問題：

　　min max{ ( , , )} . . ( ) ( ) ( , 1,2, , ) n l tt l l l l m l m w u j t x y s t x x y y x y l m n ?? ?? ? ? ? ? ? ??? (10) 上式中， wl 為第 l 個微電子器件的權重(描述該電子器件對精度和穩定性要求)， ( , , ) tt l l ? ? u j t x y 為第 l 個微電子器件粘結處薄板在 j t ?時刻的面外振動加速度，該加速度值有前述建立的保結構分析方法得到。

　　由于本文考慮的微電子器件質量較小，對薄板面外振動影響只存在于微電子器件粘結點附近的局部區域，因此，參考已有的優化理論及方法[18, 19]，本文采用的布局優化算法主要包括如下兩個步驟：

　　① 采用保結構分析方法模擬未布置微電子器件柔性薄板面外振動，找到振動加速度較小的 n 個網格點作為 n 個微電子器件布置的初始位置(共 n! 種情況)，取其中 1 max{ ( , , )} n l tt l l l w u j t x y ?? ? ?最小的情況確定為微電子器件布置的初始位置組合;

　　② 將每個微電子器件粘結位置在其初始位置附近攝動，攝動范圍設定為 2 2 1/2 2( ) ? ? ? x y (該攝動范圍是通過后續算例中試算得到的)，重新模擬薄板振動，計算微電子器件加速度最大值的加權平均值 * 1 max{ ( , , )} n l tt l l l a w u j t x y ?? ? ? ?，直至兩步迭代得到的 * a 相對誤差小于 -6 1 10 ?時結束優化迭代過程，得到最終的微電子器件最優化布局位置，完成布局優化過程。

　　在數值算例中，系統的結構及材料參數假定為： 9 0.05, 0.5m, 10 Pa, 0.37 2.914 p c R E ? ? ? ? ? ? ， h ? 0.002m , 2 0 ? ? ? 1kg m , 100N F? 。網格剖分步長及時間步長分別取為：? ? ? ? x y 0.002m, ? ?t 0.001s。

　　假定每個微電子器件質量和權重都相等， 0.01 1 kg, ( 1,2, , ) m w l n l l n n ? ? ? ，則優化算法第 ①步中涉及到的 n! 種布局組合情況退化為一種情形。考慮 n ? 2,3,4 三種較為簡單的情況，對微電子器件布置位置進行優化。

　　圖 3 給出了上述三種情況下，微電子器件布局優化過程中微電子器件加速度最大值的加權平均值 * 1 max{ ( , , )} n l tt l l l a w u j t x y ?? ? ? ?隨著迭代次數 N 的演化過程(在優化程序中設定迭代次數為 200 而不以 * a 相對誤差為迭代終止條件)。

　　從圖 3 可以看出，微電子器件個數越少，布局優化需要的迭代次數也越少。以 * a 相對誤差小于 -6 1 10 ?為迭代終止條件時，當 n ? 2 時，需要的迭代次數為 106;當 n ? 3 時，需要的迭代次數為 138;當 n ? 4 時，需要的迭代次數為 165，迭代終止時，各種情形下各微電子器件位置坐標見表 1(注：由于結構的對稱性，微電子器件布局優化結果并非唯一，表中只是給出了其中的一種優化結果)。

　　4 結論與討論

　　微電子器件在航天器中的布局與航天器局部動力學行為息息相關，對微電子器件的布局進行優化不僅有利于航天器局部減振，也有利于保證微電子器件的工作性能。本文正是基于以上背景，建立了粘結有若干個微電子器件的柔性薄板在沖擊荷載序列作用下的振動方程，基于廣義多辛理論發展了該柔性薄板振動問題的保結構分析方法對該薄板振動問題進行模擬，基于模擬結果，以微電子器件加速度最大值的加權平均值最小為優化目標對微電子器件的布局位置進行優化，得到了滿足約束條件的布局優化結果，為航天器中的微電子器件的布局優化設計提供了新的途徑。

　　需要說明的是，為方便后續的動力學分析和優化設計，本文在薄板振動問題的動力學建模過程中，忽略了薄板厚度、微電子器件尺寸等因素，在布局優化設計過程中，不區分微電子器件的質量差別和權重差別，并僅讓微電子器件布置位置在初始位置附近的一個很小范圍攝動，這些簡化雖然能夠加快優化收斂速度，但是不能從理論上證明布局優化結果的全局最優性。