基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量誤差分析與補償

　　摘要：為了解決基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量中透光窗片傾斜和真空腔內殘余氣壓對測量精度的影響，本文分析了真空腔拉伸過程中透光窗片傾斜引入的誤差，并提出了透光窗片傾斜誤差檢測和補償方法，同時研究了真空腔內殘余氣壓的測量和補償方法。為了驗證所提出方法的可行性，搭建了基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量系統，測量結果與Edlén公式結果進行對比。實驗結果顯示，本系統測量結果與Edlén公式結果具有較好的一致性，在2.2小時和20分鐘內，兩者之間偏差的標準偏差分別為2.34×10-8和2.89×10-8，這表明本文所提出的空氣折射率測量誤差補償方法是可行和有效的，可應用于激光干涉精密位移測量中空氣折射率的實時補償。

　　本文源自楊曄; 嚴利平; 陳本永; 樓盈天， 儀器儀表學報 發表時間：2021-07-16

　　關鍵詞：激光干涉; 空氣折射率測量; 長度可變真空腔; Edlén公式; 誤差補償

　　0 引 言

　　以激光波長為長度基準的激光干涉位移測量技術是目前位移測量領域的主流技術，廣泛應用于各種精密測量領域[1-3]。由于激光干涉位移測量大多在空氣中進行，而激光在空氣中的波長值與空氣折射率密切相關，因此空氣折射率測量的準確性是提高激光干涉儀位移測量精度的關鍵因素[4,5]。

　　通常，有兩類獲取空氣折射率的方法。一類稱為間接測量方法，先通過傳感器確定溫度，壓力，濕度和 CO2含量等環境參數，再利用 Edlén 公式計算空氣折射率。自從 1966 年提出 Edlén 公式以來，研究者們已經提出了不同的修正公式來提高計算精度[6-10]。這類方法的測量精度主要受到傳感器和公式自身精度的影響。

　　另一類是以兩端裝有透視窗片的真空腔為敏感單元，通過激光干涉法直接測量空氣折射率。真空腔可分為長度不變和長度可變兩種。當真空腔長度不可變時，可以通過真空腔內交替產生真空和大氣條件時導致的干涉相位變化確定空氣折射率[11-14]。在這種測量方法中，抽氣過程將導致氣壓和溫度的快速不均勻變化，以及真空腔的變形和振動，這會引起干涉信號的失真并帶來額外的噪聲。因此有了將不同長度的永久真空腔交替放入測量光路來產生相位變化的測量方法 [15-19]。預先抽空的密閉腔不需要抽氣程序，避免了抽氣過程的相關干擾。但是這種測量方法只能測量特定范圍的空氣折射率。

　　為了擴大空氣折射率的測量范圍，長度可變的真空腔被應用于空氣折射率測量系統[20-22]。通過拉伸真空腔可改變測量光路在真空中和空氣中的光程(光程是把光在介質中傳播的路程折合為光在真空中傳播的相應路程。在數值上等于介質折射率乘以光在介質中傳播的路程)，并產生連續的相位變化，進而可測得空氣折射率。采用這種方法，空氣折射率的測量范圍不受限制。但是在拉伸真空腔的過程中，透光窗片的傾斜將影響實際光程的變化，此外，腔內殘留空氣也會影響空氣折射率測量結果。

　　在本文中，我們提出了一種補償長度可變真空腔透光窗片傾斜誤差和腔內殘留氣壓誤差的激光干涉空氣折射率測量方法，設計和搭建了測量系統，進行了實驗驗證。

　　1 激光干涉空氣折射率測量原理

　　基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量原理如圖1所示。激光器(Laser)、分光鏡(BS1)、參考角錐棱鏡(M1)和測量角錐棱鏡(M2)構成邁克爾遜干涉儀，由透光窗片W1、W2和波紋管構成的長度可變真空腔置于干涉儀測量臂，光電探測器(PD1)用于接收干涉信號。當窗片W1從B點拉伸至A點，真空腔長度變化LV時，干涉儀測量臂光程隨之變化2(na-no) LV(na 和no分別真空腔外的空氣折射率和真空腔內的真空折射率)，則干涉信號的相位變化量Δφ為：

　　2 空氣折射率測量誤差分析和補償方法

　　從式(2)可知，影響空氣折射率測量精度的主要因素是真空腔的拉伸長度LV的定位精度和干涉信號相位變化量Δφ的測量精度。此外，拉伸真空腔時，透光窗片存在的微小傾斜將影響LV和Δφ的測量精度;真空腔內殘留氣體引起的腔內真空折射率no≠1也會對Δφ的測量引入誤差。

　　2.1 透光窗片傾斜誤差分析和補償

　　2.1.1 透光窗片傾斜誤差分析

　　圖 1 中，透光窗片 W2的底部固定，透光窗片 W1 的底部安裝在線性運動平臺的滑塊上。當滑塊帶動 W1 拉伸真空腔時兩窗片將發生傾斜，如圖 2(a)所示。窗片的傾斜使拉伸后的真空光程變小，同時窗片內的光程變大。圖 2(b)是單個透光窗片傾斜誤差分析圖。設窗片高度為 H(窗片直立時激光光束從其二分之一高處水平穿過)，厚度為 T，傾斜角度為 α。窗片傾斜使真空腔內真空光路減少 2Δl： 2 tan ? ? ? l H ? (3)激光光束在單個透光窗片中多走的距離 Δl1為： 1 l l T T 1 = (cos 1) ?? ? ? ? ? (4)

　　2.1.2 透光窗片傾斜誤差補償

　　為了補償透光窗片傾斜誤差對空氣折射率的影響，構建了如圖 3 所示的補償光路。激光光束 1 和激光光束 2 分別從真空腔內部和外部水平穿過，構成測量干涉儀和補償干涉儀。真空腔拉伸過程中，測量干涉儀用于測量空氣折射率，補償干涉儀用于檢測透光窗片傾斜引起的相位變化。從圖 3 可以看出，窗片傾斜時光束 1 和光束 2 在透鏡內部光程變化相同，因此用補償干涉儀測得的相位變化量來計算和補償透光窗的傾斜誤差。

　　根據式(5)，測得 ΔφC后，可計算得到窗片傾斜角度 α：? ?? ? a q C 0 a q 8 arccos 8 T n n T n n ??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? (6)將式(6)代入式(3)，得到光束 1 在真空光路中的光程減少量 2Δl。? ?? ? a q 0 a q 8 2 tan arccos 8 C T n n l H T n n ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(7)

　　2.2 真空腔內殘留氣壓誤差分析和補償

　　在圖 1 所示真空腔拉伸過程中，腔內殘余空氣壓強會對空氣折射率測量帶來影響。假設透光窗 W1 處于位置 B 和 A 時殘留氣體的空氣折射率分別為 n1 和 n2，則真空腔拉伸前后測量臂光程變化引起的干涉信號相位變化量為： V as 1 1 V 1 2 ? ? S 0 4 L n L n L L n ? ??? ? ?? ? (8)式中，L1是透光窗 W1處于位置 B 時真空腔的長度， nas為實際空氣折射率，n1和 n2可根據真空腔內氣體的殘余壓強、溫度等參數和 Edlén 公式計算。從而得到實際空氣折射率 nas為：? ? 0 S 1 as 2 1 2 V V = 4 L n n n n L L ? ???? ? ? (9)比較式(2)和(9)，可得真空腔殘留氣壓引起的折射率測量誤差?n 為：? ? ? ? 1 2 1 2 V 1 L n n n n L ? ? ? ? ? (10)

　　在計算真空腔內的空氣折射率時，首先使用與真空腔相連的真空計獲得拉伸前后的真空腔內氣壓，其次因為真空腔由金屬構成，金屬優良的導熱性使真空腔內外溫度相同，所以使用腔外環境溫度代替真空腔內氣體溫度。最后，實驗條件下真空腔內殘留氣壓可控制在 100 Pa 以下，CO2含量不大于約 500 ppm。根據 Edlén 公式[23]，算得在低壓干燥空氣環境下真空腔內殘留氣體的空氣折射率，進而得到?n 用于補償。

　　2.3 空氣折射率測量和補償光路設計

　　為了補償真空腔透光窗片傾斜誤差和腔內殘留氣壓誤差對空氣折射率測量的影響，設計了圖 4 所示的空氣折射率測量和補償光路。由固定窗片(W2)、活動窗片(W1)和真空波紋管構成的可變長度真空腔放置在分光鏡 BS2、BS1 和角錐棱鏡 M3、M4 之間。W1 安裝在線性移動平臺上，移動平臺在測量過程中拉伸真空腔，真空計測量真空腔內的氣壓，溫度計放置于真空腔附近測量環境溫度。穩頻激光器輸出的單頻激光被分光鏡(BS3)和反光鏡(R)分為平行的兩束激光(光束 1、光束 2)，分別作為測量干涉儀和補償干涉儀的光源。其中測量干涉儀由 BS1、電光相位調制器(EOM1)、兩個角錐棱鏡(M1、M3)構成，測量干涉信號由光電探測器(PD1)探測。激光光束 1 往返于真空腔內部用于測量真空腔拉伸導致的干涉相位變化 Δφm。補償干涉儀則由 BS2、EOM2、M2、M4 和壓電陶瓷驅動器(PZT)構成，PD2測得補償干涉信號。激光光束 2 往返于真空腔外部，穿透兩個窗片，用于測量窗片傾斜導致的干涉相位變化 Δφc。EOM1和 EOM2 用于對單頻干涉信號進行正弦相位調制，從而采用 PGC-Arctan 相位解調方法獲得干涉信號相位。同時，分別對真空腔進行預拉伸和對 PZT 進行線性調制，獲得連續變化的測量干涉信號和補償干涉信號，進一步采用橢圓擬合算法對 PGC-Arctan 相位解調誤差進行修正[22]。

　　圖 4 所示光路中，在真空腔拉伸過程中，首先測得 PD1和 PD2干涉信號相位變化量 Δφm和 ΔφC，由式(6)和(7)算得 2?l ;然后根據真空計和溫度計測得的真空腔拉伸前后腔內的氣壓和環境溫度參數計算 n1 和 n2;進一步根據式(10)計算 Δn;最后，獲得補償真空腔透光窗片傾斜誤差和腔內殘余壓強的空氣折射率 na為： m C 0 V 1 ( ) 1 ( 2 ) 2 2 a n n L l ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?(11)

　　3 實驗和結果

　　為了驗證所提出的空氣折射率測量和補償方法的有效性，搭建了如圖 5 所示的實驗裝置。激光光源為單頻 He-Ne 穩頻激光器(XL-80, Renishaw)，波長為 632.990577 nm。長度可變真空腔由內徑為 15 毫米的不銹鋼焊接真空波紋管制成，其端部透光窗片由透射率優于 99.8%的熔融石英構成，真空計用于檢測真空腔 內 壓強 變化 ， 透光 窗片 W1 置于線 性 位移 臺(MTN100CC, Newport)滑塊上，位移臺運動范圍為 100 mm。此外，在測量過程中將空氣折射率補償單元 (XC-80, Renishaw)放置在真空腔附近記錄環境溫度、濕度和壓強參數，CO2傳感器(GMT222, Vaisala)測量 CO2含量。XC-80 和 GMT222 采集的環境參數用于 Edlén 公式法計算空氣折射率[9]，而且環境溫度參數同時用于真空腔內折射率的計算。實驗過程中，圖 5 所示的整個實驗裝置用黑色 KT 紙板制成的外罩罩住，以避免局部空氣湍流。

　　3.1 空氣折射率測量過程

　　實驗之前，將真空腔抽成真空，透光窗 W1 處于初始位置 B，真空腔長度 L1=400 mm。首先線性位移臺帶動 W1將真空腔拉升約 10 mm，在此過程中采集 5 個周期的測量干涉信號數據進行橢圓擬合，獲得測量光路 PGC 解調修正參數;然后對 PZT 施加三角波調制信號驅動 M2 線性移動，在此過程中采集 5 個周期的補償干涉信號進行橢圓擬合，計算出補償光路的 PGC 解調修正參數，最后 W1 再次返回初始位置 B。具體測量步驟如下：

　　步驟 1：對 EOM1 和 EOM2 施加相同的正弦調制信號，分別對測量和補償干涉信號進行 PGC 相位解調，記錄測量和補償干涉信號的初始相位 φ1B和 φ2B，同時記錄真空腔內壓強 P1和環境參數。

　　步驟 2：線性平臺以 5 mm/s 的速度拉伸真空腔 LV=98 mm，在此過程中，對測量和參考干涉信號的解調相位進行相位解包裹處理，得到整周期干涉條紋數 N1和 N2，當窗片 W1穩定于位置 A 且位移臺停止約 5 秒鐘后，記錄測量和補償干涉信號的實時相位 φ1A和 φ2A，同時記錄真空腔內壓強 P2和環境參數。則測量和補償干涉信號的相位變化量分別為; m ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 N1 1 1 A B (12) C 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? N A B (13)

　　步驟 3：將 P1、P2和環境溫度代入低壓 Edlén 公式[23]，得到透光窗 W1處于位置 B 和 A 時真空腔內殘留氣體的空氣折射率 n1和 n2;結合 L1、LV、Δφm、ΔφC 和式(7)、(10)和(11)，可以實現空氣折射率測量。

　　線性位移臺驅動透光窗 W1返回初始位置 B，重復上述步驟 1-3，可以持續測得空氣折射率值。

　　3.2 空氣折射率測量結果

　　分別進行了 2.2 小時長時間和 20 分鐘短時間的空氣折射率測量實驗。在測量過程中，由于補償干涉儀測量臂在空氣中的光程較長(約 500 mm)，導致補償干涉信號相位測量結果波動較大。為了提高補償干涉相位測量精度，從第 20 組數據開始(前 19 組數只用于擬合計算)，將當前測得的相位值 ΔφC與之前測得的所有相位值做最小二乘直線擬合，得到的擬合值 Δφ′C用于空氣折射率測量時透光窗片傾斜誤差的補償。

　　圖 6 是 2.5 小時內 ΔφC測量結果及其擬合值，一共進行了 150 組測量，得到 131 組測量值(2.2 小時)。可以看出，經過線性擬合后，透光窗片傾斜引起的補償干涉儀相位變化基本維持在-2°左右。

　　圖 7 為 2.2 小時內未補償透光窗傾斜誤差和殘余壓強誤差的空氣折射率直接測量結果及環境參數變化值。實驗過程中，空氣溫度上升約 0.90 ℃，壓強下降為 120 Pa，相對濕度下降 3.5%，二氧化碳濃度下降約 60 ppm。可以看出，未補償透光窗傾斜誤差和真空腔內的殘余氣壓誤差時，直接測得的空氣折射率 na1和 Edlén 公式計算結果 ne具有相同的變化趨勢，但是兩者之間具有較大的偏差，差值的平均值達-17.39×10-8，標準偏差為 3.28×10-8。

　　圖 8 為每次測量時 W1在位置 B 和 A 處真空腔內殘余壓強值，殘余壓強隨測量時間增加而增加。根據 B 點、 A 點的壓強及環境溫度，可算得腔內殘余空氣折射率 n1和 n2，代入式(10)可獲得殘余氣壓對應的折射率補償量?n。圖 9 為補償?n 后空氣折射率測量結果 na2，可以看出，na2與 ne的偏差有所減小，差值的平均值為減小為 -6.58×10-8，標準偏差為 2.33×10-8。

　　圖 10 為同時補償?n 和透光窗傾斜誤差 ΔφC的空氣折射率最終測量結 na。很明顯，na與 ne的偏差進一步減小，差值的平均值為減小為 1.83×10-8，標準偏差為 2.34×10-8。

　　圖 11 為 20 分鐘空氣折射率測量結果，一共進行了 20 組測量。在實驗過程中，空氣溫度大約上升 0.10 ℃，相對濕度下降約 0.40%，環境氣壓和二氧化碳濃度幾乎不變。補償透光窗傾斜誤差和腔內殘余氣壓誤差后，空氣折射率的最終測量結果和 Edlén 公式結果差值的平均值為 1.73×10-9，標準偏差為 2.89×10-8。

　　上述實驗結果表明，通過補償透光窗傾斜誤差和腔內殘余氣壓誤差之后，本文設計的基于長度可變真空腔的空氣折射率測量系統能實現空氣折射率的精密測量。

　　4 測量不確定度分析

　　根據式(11)，空氣折射率測量不確定度可表示為: 2 2 V 0 V 0 2 2 C C 2 a 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ( ) ) a a a a m m n n u L u L n n u u u u n n u T ??? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?? (14)式(14)中，第 1、2、3 和 6 項分別表示真空腔拉伸長度不確定度、激光器波長穩定性、測量干涉儀相位解調精度和材料熱膨脹引入的空氣折射率測量誤差。根據課題組前期驗證[22]，這四項誤差對 u(na)的貢獻分別為 2.7×10-9、5.3×10-12、5.4×10-9和 5.2×10-9。

　　第 4 項表示補償干涉儀相位解調精度和穩定性的影響，根據實驗測得 ΔφC的數據和所采用的 ΔφC線性擬合方法，2.2 小時和 20 分鐘內，ΔφC的不確定度分別為 0.35°和 1.82°，對 u(na)的貢獻分別為 3.14×10-9和 1.63×10-8。

　　第 5 項表示真空腔內殘留氣壓的影響，根據空氣折射率計算公式[23]和式(10)，2.2 小時和 20 分鐘內，該項對 u(na)的貢獻分別為 8.7×10-9和 5.7×10-9。

　　結合上述所有空氣折射率測量不確定度影響因素，2.2 小時和 20 分鐘空氣折射率測量不確定度 u(na)分別為 1.22×10-8和 1.91×10-8，該理論分析結果與實際測量結果吻合。

　　5 結論

　　本文詳細分析了真空腔透光窗片傾斜和腔內殘余氣體對基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量方法的影響，提出了基于補償干涉儀同步測量的透光窗傾斜誤差補償方法，并采用真空計實時監測測量過程中腔內氣壓的變化，進一步補償殘余氣壓引入的折射率測量誤差。搭建了基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量及補償實驗裝置，開展了長時間和短時間內的空氣折射率測量實驗。實驗結果表明，補償透光窗傾斜誤差和腔內殘余氣壓誤差之后，空氣折射率測量結果與 Edlén 公式測量結果偏差的標準偏差可達 2.89×10-8，證明本方法能實現空氣折射率的精密測量，對于提高激光干涉位移測量精度具有重要的意義。