移動機器人的線性自抗擾控制設(shè)計與實驗驗證

　　摘要: 為了實現(xiàn)移動機器人的高精度軌跡跟蹤控制, 設(shè)計了一種基于擴張狀態(tài)觀測器的擾動抑制方法和相應(yīng)的實驗驗證平臺. 首先考慮到不確定擾動如車輪縱向和側(cè)向滑動對移動機器人系統(tǒng)控制性能的影響, 建立了受擾下的運動學(xué)模型; 然后基于擴張后的運動學(xué)模型設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)擾動; 接著利用擾動估計構(gòu)建了線性自抗擾控制器, 并利用Lyapunov函數(shù)證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性; 同時, 基于Matlab/Simulink軟件和微控制器搭建了所推薦控制算法的實驗驗證平臺. 仿真和實驗結(jié)果都驗證了所提出控制方法的有效性.

　　關(guān)鍵詞: 移動機器人; 軌跡跟蹤; 線性自抗擾控制; 擴張狀態(tài)觀測器

　　王會明; 張揚; 王雪闖， 控制理論與應(yīng)用 發(fā)表時間：2021-11-18

　　1 引言

　　當(dāng)前移動機器人已被廣泛地應(yīng)用于航天航空, 機場服務(wù), 倉儲物流等各種重要領(lǐng)域, 軌跡跟蹤問題一直是移動機器人控制研究的熱點之一 [1–3] . 為了讓移動機器人達到高精度的跟蹤目的, 學(xué)者們提出了很多有效的控制方法, 如反步法控制 [4] , 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 [5–6] , 滑模控制 [7–8] , 自適應(yīng)控制 [9]等. 然而上面提到的這些控制算法都是建立在“純滾動無滑動”理想條件下的, 并沒有考慮實際運行中擾動對移動機器人控制性能的影響. 因此當(dāng)移動機器人遭受各種嚴(yán)重擾動時, 將會不可避免地影響其控制性能 [10] .

　　為了解決上述存在的問題, 文獻 [11]針對車輪存在縱向滑動, 提出了一種自適應(yīng)非線性反饋控制器以補償擾動影響實現(xiàn)了軌跡跟蹤的目的. 文獻 [12]提出了一種級聯(lián)的控制器結(jié)構(gòu), 解決了在有界外擾和參數(shù)不確定性條件下的輪式移動機器人軌跡跟蹤問題, 并且通過仿真驗證了所提控制方法的魯棒性和有效性. 文獻 [13]討論了輪式移動機器人存在外部擾動和慣性不確定性情況下的自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制問題. 文獻 [14]針對具有側(cè)向和縱向滑動下的非線性離散時間移動機器人動態(tài)系統(tǒng), 提出了一種基于強化學(xué)習(xí)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制跟蹤算法. 上述提到的控制策略都在一定程度上提高控制系統(tǒng)的跟蹤性能, 具有良好的擾動抑制能力. 但是,上述方法普遍存在以下問題: 1) 控制器參數(shù)多, 調(diào)參困難; 2) 算法計算量大, 需要高性能的設(shè)備來配合，增加了硬件成本.

　　近些年來, 基于觀測器的抗擾控制方法由于具有眾多優(yōu)點得到了廣泛關(guān)注 [15–17]。常用的觀測器主要有滑模觀測器, 擾動觀測器, 廣義比例積分觀測器, 擴張狀態(tài)觀測器等. 文獻 [18]提出了一種基于擾動觀測器的自適應(yīng)跟蹤控制器, 解決了輪式移動機器人動力學(xué)模型中存在不確定擾動的問題, 有效地提高了控制系統(tǒng)的抗干擾能力. 文獻 [19]設(shè)計了一種魯棒跟蹤控制策略, 該方法由基于滑模觀測器設(shè)計的運動學(xué)控制器和非線性擾動觀測器設(shè)計的動力學(xué)控制器組成, 解決了輸入干擾以及縱向與側(cè)向滑動干擾下移動機器人的軌跡跟蹤問題. 應(yīng)該指出的是上述提到的這些擾動觀測器都可以用來觀測系統(tǒng)擾動, 使用時可以根據(jù)所研究系統(tǒng)實際情況來選擇合適的觀測器.

　　本文主要研究不確定擾動情況下輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題. 首先建立在車輪縱向和側(cè)向滑動情況下移動機器人的運動學(xué)模型. 然后利用該模型設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器來估計移動機器人受到的各種擾動, 接著利用擾動估計構(gòu)建軌跡跟蹤控制器, 同時給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明過程. 最后仿真和實驗結(jié)果表明本文提出的控制器能夠有效地抑制干擾對系統(tǒng)性能造成的不利影響, 使移動機器人快速準(zhǔn)確地跟蹤上其參考軌跡.

　　2 移動機器人運動學(xué)模型描述

　　如圖1所示, 定義XOY坐標(biāo)系為固定參考坐標(biāo)系, 移動機器人配備了兩個主動輪和一個從動輪. 主動輪通過電機給移動機器人提供動力, 可通過改變電機的輸入電壓調(diào)節(jié)速度, 達到調(diào)節(jié)移動機器人位姿的目的. 從動輪主要起到維持機器人平衡的作用. 關(guān)于圖中的符號做如下說明: r表示車輪的半徑, b表示車輪之間距離的一半(輪距), P表示車輪之間距離的幾何中心, C為移動機器人的質(zhì)心, d表示P, C兩點之間的距離.

　　定 義 移 動 機 器 人 的 完 整 位 姿為q = [x y θ ?r ?l ] T , 考慮其在實際運行時由于地面濕滑、摩擦等原因受到縱向和側(cè)向滑動擾動影響, 輪式移動機器人滿足下列非完整約束方程 [20]:

　　式 中, x和y表 示 移 動 機 器 人 在 固 定 參 考 坐 標(biāo)系(XOY坐標(biāo)系) 下的坐標(biāo), θ表示方向角, ζ表示側(cè)向滑 動 線 速 度, ?r和?l表 示 兩 主 動 輪 的 角 位 移, ηr和ηl表示兩主動輪的縱向滑動角速度.

　　則受到車輪縱向和側(cè)向滑動擾動影響的輪式移動機器人運動學(xué)模型可描述為:

　　3 運動學(xué)控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

　　定義跟蹤誤差ex = x − xr, ey = y − yr, 結(jié)合公式(2)可得: [ e˙x e˙y ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ] [v ω ] − [ x˙ r y˙r ] + [ d1 d2 ] = [ u1 u2 ] − [ x˙ r y˙r ] + [ d1 d2 ] . (3) 式中， [ d1 d2 ] = [ −ςv cos θ + (dςω − ζ) sin θ −ςv sin θ − (dςω + ζ) cos θ ] . 假設(shè) 1 假設(shè)系統(tǒng)(3)中擾動d1, d2的一階導(dǎo)數(shù)存在，且滿足條件∥[ ˙d1 ˙d2] T ∥ ≤ µ, µ ∈ R+.

　　3.1 運動學(xué)控制器設(shè)計

　　定 義x1 = ex, x2 = ey, xd1 = d1, xd2 = d2, 系統(tǒng)(3)可擴張為如下形式：????????????? x˙ 1 = u1 − x˙ r + xd1 , x˙ d1 = ˙d1, x˙ 2 = u2 − y˙r + xd2 , x˙ d2 = ˙d2. (4) 根據(jù)上式可設(shè)計如下所示的擴張狀態(tài)觀測器(ESO): ????????????? ˙xˆ1 = u1 − x˙ r + ˆxd1 − β1(ˆx1 − x1), ˙xˆd1 = −β0(ˆx1 − x1), ˙xˆ2 = u2 − y˙r + ˆxd2 − γ1(ˆx2 − x2), ˙xˆd2 = −γ0(ˆx2 − x2). (5) 式中, xˆ1, xˆ2, xˆd1 , xˆd2 分別為x1, x2, xd1 , xd2 的估計, β0, β1, γ0, γ1 > 0 為觀測器增益, βi , γi的配置原則分別 滿 足 使 特 征 多 項 式po1 = s 2 + β1s + β0, po2 = s 2 + γ1s + γ0 的根軌跡全部位于復(fù)平面s的左半平面 [21]

　　基于擴張狀態(tài)觀測器的擾動估計, 可設(shè)計線性自抗擾控制器為(LADRC) [21–22]: [ u1 u2 ] = [ x˙ r − kxex − xˆd1 y˙r − kyey − xˆd2 ] . (6) 式中, kx, ky > 0 為控制器增益. 然后根據(jù)下式: [ v ω ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ]−1 [ u1 u2 ] . (7) 可得系統(tǒng)(2)中的v和ω.

　　3.2 穩(wěn)定性分析

　　將控制律(6)帶入到系統(tǒng)(3)中, 在設(shè)計的控制器作用下, 跟蹤誤差的動態(tài)方程可寫為: { e˙x = −kxex − ed1 , e˙y = −kyey − ed2 . (8) 式 中, ed1 = ˆxd1 − d1, ed2 = ˆxd2 − d2. 將 式(5)減 去式(4), 可得觀測器的誤差動態(tài)方程為: ????????????? e˙x1 = ed1 − β1ex1 , e˙d1 = − ˙d1 − β0ex1 , e˙x2 = ed2 − γ1ex2 , e˙d2 = − ˙d2 − γ0ex2 . (9) 定義下列變量E1 = [ex ey] T , E2 = [ex1 ed1 ] T , E3 = [ex2 ed2 ] T , 結(jié)合公式(8)和(9), 可得閉環(huán)系統(tǒng)誤差動態(tài)方程為: E˙ = AE + D. (10)式中, E = ??? E1 E2 E3 ??? , A = ??? A1 B1 B2 0 A2 0 0 0 A3 ??? , D = ??? 0 B2 ˙d1 B2 ˙d2 ??? . A1 = [−kx 0; 0 − ky], A2 = [−β1 1; − β0 0], A3 = [−γ1 1; − γ0 0], B1 = [−1 0]T , B1 = [0 − 1]T . 由于A 為Hurwitz矩陣, 因此存在對稱正定矩陣P ∈ R6×6 , 使得AT P + P A = −I條件成立.

　　定理 1 對于受擾移動機器人系統(tǒng)(2), 在擴張狀態(tài)觀測器(5)和控制器(7)中參數(shù)選擇合適的情況下, 若系統(tǒng)(2)中的擾動滿足假設(shè)1, 則系統(tǒng)跟蹤誤差將會漸近收斂至下面的有界區(qū)域 Z = {E|∥E∥ 2 ≤ µ 2λ 2 max(P ) λ 2 min(P )(1 − λmax(P))}.(11) 式中, λmin(P ), λmax(P )分別為正定矩陣P的最小, 最大特征值.

　　證明: 定義Lyapunov函數(shù)V (E) = ETP E, 對該函數(shù)求導(dǎo)可得: V˙ (E) = 2E TP E˙ = 2E TP (AE + D) = −∥E∥ 2 + 2E T P D ≤ −∥E∥ 2 + 2λmax(P )∥E∥∥D∥ ≤ −∥E∥ 2 + λmax(P )∥E∥ 2 + λmax(P )∥D∥ 2 = −(1 − λmax(P ))∥E∥ 2 + λmax(P )∥D∥ 2 . (12) 由于 V (E) λmax(P ) ≤ ∥E∥ ≤ V (E) λmin(P ) . 將上式帶入到公式(12)中可得: V˙ (E) ≤ −( 1 λmax(P ) − 1)V (E) + λmax(P )∥D∥ 2 . 根據(jù)假設(shè)1可得上式的解 V (E) ≤ µ 2λ 2 max(P ) 1 − λmax(P ) + (V (0) − µ 2λ 2 max(P ) 1 − λmax(P ) ) × e −[ 1 λmax(P ) −1] . 則系統(tǒng)跟蹤誤差將會漸近收斂至有界區(qū)域(11). 證明完畢.

　　注 1 針對移動機器人軌跡跟蹤控制問題, 本文貢獻主要有三點: 1) 建立了系統(tǒng)在各類擾動影響下的運動學(xué)模型; 2) 給出了包括控制器(6) 和觀測器(5) 在內(nèi)的整個機器人閉環(huán)系統(tǒng)的詳細穩(wěn)定性證明過程; 3) 后續(xù)的仿真和實驗測試驗證了所提控制方法的有效性.

　　4 仿真與實驗測試

　　為了顯示所推薦控制方法的優(yōu)點, 我們給出了其與傳統(tǒng)PI控制方法的仿真和實驗對比結(jié)果. 測試中用到的PI 控制器設(shè)計如下: [ v ω ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ]−1 [ u1 u2 ] , (13a) [ u1 u2 ] = [ x˙ r − kP1 ex − kI1 ∫ t 0 exdτ y˙r − kP2 ey − kI2 ∫ t 0 eydτ ] . (13b) 式中, kP1 , kP2 , kI1 , kI2 > 0 為控制器增益. 仿真和實驗測試中用到的參考軌跡為 [23]: xr = cos(0.1t), yr = sin(0.1t) cos(0.1t), θr = tanh(¨yr/x¨r). 其 中, tanh(∗)表示反正切函數(shù), θr ∈ [−π π]. 測試用的移動機 器 人 平 臺 的 物 理 參 數(shù) 為: r = 0.0625 m, b = 0.1645 m, d = 0.1 m.

　　4.1 仿真測試

　　假設(shè)移動機器人在前30 s未受到外界擾動影響, 30 s之 后 受 到 如 下 形 式 的 外 加 擾 動: d1 = −d2 = −0.1 sin(0.02πt) (30 s ≤ t < 70 s), d1 = d2 = 0 (70 s ≤ t ≤ 100 s). 在該仿真實驗中, 假 設(shè) 移 動 機 器 人 的 初 始 位 姿為q(0) = [−0.2 0.2 0 0 0]T , 推薦控制器的增益選 為kx = ky = 0.5, β0 = γ0 = ρ 2 , β1 = γ1 = 2ρ, ρ = 2.5; PI 控 制 器 參 數(shù) 設(shè) 置 為: kP1 = kP2 = 1, kI1 = kI2 = 0.25, 仿真步長設(shè)置為0.01 s.

　　仿真結(jié)果如圖2-3所示, 圖2分別描述了在所推薦控制方法和傳統(tǒng)PI控制方法作用下移動機器人的參考位置和實際位置, 位置跟蹤誤差, 航向角跟蹤以及線速度和角速度變化曲線, 圖3給出了所提控制方法中擴張狀態(tài)觀測器對擾動的估計曲線. 從圖2b(1)與圖2b(2)中可以看到, 當(dāng)移動機器人受到外部擾動影響時, 與傳統(tǒng)的PI控制算法相比, 本文提出的控制算法可以使機器人獲得更小的跟蹤誤差, 這表明所提的控制算法具有很好的跟蹤性能和較強的干擾抑制能力.

　　需要指出的是由于我們研究的移動機器人系統(tǒng)是一個微分平坦的系統(tǒng), 根據(jù)微分同胚映射, 狀態(tài)θ可以由系統(tǒng)的平坦輸出(x, y) 來表示. 因此只要能夠保證實際位置(x, y)跟蹤上其參考位置(xr, yr), 狀態(tài)θ就可以在一定誤差范圍內(nèi)跟蹤上θr, 這一點也可以通過圖2c的測試結(jié)果得到驗證. 關(guān)于移動機器人微分平坦屬性的詳細介紹及相應(yīng)的控制器設(shè)計思路, 可以參考文獻 [24].

　　4.2 實驗驗證

　　圖4是用于算法驗證的移動機器人實驗平臺, 該移動機器人主要由微控制器, 直流減速電機, 電池, 車輪以 及 鋁 合 金 的 車 身 組 成. 微 控 制 器 的 型 號為STM32F103RCT6, 該控制器運行底層電機速度控制算法. 兩臺24V直流減速電機為機器人提供動力, 可通過500線光電編碼器測量轉(zhuǎn)速信息. 圖5是系統(tǒng)整體框架圖, 該系統(tǒng)主要由搭載微控制器的移動機器人和執(zhí)行Matlab/Simulink的計算機兩部分組成. 首先, 微控制器利用串口外設(shè)接收Matlab/Simulink發(fā)來的控制指令(線速度和角速度), 并隨即將控制指令轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的左, 右輪直流電機的轉(zhuǎn)速指令, 同時又可以利用定時器外設(shè)以定時采樣的方式得到兩編碼器的增量值, 計算兩臺直流電機的實際轉(zhuǎn)速; 然后, 通過兩直流電機的轉(zhuǎn)速信息可計算出當(dāng)前時刻的線速度和角速度, 并且采用基于運動學(xué)模型的里程計算法推算出當(dāng)前位置(通過串口發(fā)送到Matlab/Simulink); 最后, 運行底層電機控制算法的微控制器利用直流電機的轉(zhuǎn)速指令和實際轉(zhuǎn)速之間的差值計算出PWM信號, 將該信號作用到直流電機驅(qū)動器上, 實現(xiàn)速度調(diào)節(jié)的功能.

　　在該實驗測試中, 移動機器人的初始位姿設(shè)置為q(0) = [0 0 0 0 0]T , 實驗中推薦控制器和PI控制器的參數(shù)設(shè)置分別與仿真測試時相同. 兩種控制方法的采樣控制周期都設(shè)置為0.01 s. 實驗結(jié)果如圖6-7所示, 分別描述了在兩種控制方法下移動機器人在X軸和Y軸方向的軌跡跟蹤效果, 線速度和角速度的跟蹤效 果 以 及 對 擾 動 的 估 計 結(jié) 果. 根 據(jù) 圖6b(1)和圖6b(2)的位置跟蹤誤差曲線可以看出, 在機器人穩(wěn)態(tài)運行至30 s時施加擾動，所推薦控制方法的跟蹤誤差范圍±0.05 m明顯小于PI控制方法的跟蹤誤差范圍±0.1 m. 結(jié)果表明本文提出的控制方法具有較好的抗干擾能力.

　　注 2 通過比較本文所推薦的控制器(4)-(7)和PI 控制器(13)可以看出, 本文所設(shè)計的控制器結(jié)構(gòu)簡單, 調(diào)參數(shù)量少(調(diào)參數(shù)量與PI 控制器的數(shù)量相同都只有兩個). 同時與已有研究成果 [11–14]相比, 所推薦方法由于使用ESO來實時動態(tài)的估計系統(tǒng)干擾, 不需要設(shè)計計算量較大的自適應(yīng)或者強化學(xué)習(xí)機制, 因而可以有效降低系統(tǒng)計算負(fù)擔(dān).

　　5 結(jié)語

　　為了解決移動機器人在干擾情況下的軌跡跟蹤控制問題, 首先, 建立起移動機器人在車輪縱向和側(cè)向滑動情況下的運動學(xué)模型; 其次, 根據(jù)擴張狀態(tài)觀測器對擾動的估計, 提出了一種基于線性自抗擾的軌跡跟蹤控制方法; 然后, 通過定義的Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性; 最后, 仿真和實驗結(jié)果都驗證了所提控制方法的有效性和魯棒性. 為了進一步提高移動機器人的跟蹤性能, 接下來我們將利用高性能的微控制器來設(shè)計和驗證基于非線性擴張狀態(tài)觀測器的自抗擾控制算法和滑模控制算法.