隨機(jī)利率下的期權(quán)定價(jià)

　　摘要：基于Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型，采用計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)化方法，先給出 Vasicek模型下歐式期權(quán)定價(jià)方程的簡化算法;然 后 基 于 簡 化 后 的 方 程，使 用 顯 式 差 分 法 與 Crank-Nicolson差分法給出歐式期權(quán)價(jià)格數(shù)值解的迭代格式，并驗(yàn)證迭代格式的穩(wěn)定性.

　　關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià);Vasicek模型;顯式差分法;Crank-Nicolson差分法

　　韓笑; 張敏行， 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版) 發(fā)表時(shí)間：2021-11-26

　　Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型[1-2]是現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)分析的基礎(chǔ)，傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型通常假設(shè)市場利率為一個(gè)常數(shù)，但這與利率服從隨機(jī)過程的金融市場實(shí)際情況不符.基于此，文獻(xiàn)[3]提出了Vasicek模型，有效刻畫了具有均值回歸特性的市場隨機(jī)利率;文獻(xiàn)[4]研究表明，在隨機(jī)利率的條件下可通過計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)化推導(dǎo)期權(quán)的定價(jià)公式;文獻(xiàn)[5]研究表明，利用計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)化方法，可以降維簡化期權(quán)定價(jià)的偏微分方程.有限差分法是偏微分方程數(shù)值解的一種重要方法.本文分別采用顯式有限差分法與精度更高的Crank-Nicolson差分法[6]，討論簡化后定價(jià)方程的差分迭代格式，并分別驗(yàn)證差分格式的穩(wěn)定性.

　　1 隨機(jī)利率模型

　　假設(shè)(Ω，F(xiàn)，P，(Ft)0≤t≤T)是關(guān)于 Ft=σ{Wt，t≥0｝的一個(gè)概率空間，將市場上的無風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)利率記為r(t)，則r(t)是滿足的適應(yīng)過程，在風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下服從如下隨機(jī)微分方程：dr(t)=μ(t，r(t))dt+σ(t，r(t))dWt，這里μ(·)，σ(·)是關(guān)于t和r(t)的確定性函數(shù)，{Wt，t≥0｝是標(biāo)準(zhǔn) Brown運(yùn)動(dòng).零息債券是一張?jiān)诘狡谌誘 可以獲得1單位現(xiàn)金的債券，是市場中的一種基本金融產(chǎn)品.將t時(shí)刻零息債券的價(jià)值記為P(t)，則P(t)滿足dP(t)dt =r(t)P(t)dt，P(T)=1，烅烄烆從而P(t)=exp -∫ Tt { ｝ r(s)ds .　　Vasicek模型[3]很好地刻畫了短期利率的均值回復(fù)性，是目前常用的隨機(jī)利率模型.Vasicek模型假設(shè)隨機(jī)利率服從如下隨機(jī)微分方程：drt =a(b-rt)dt+σdWt，其中a，b，σ均為正常數(shù).此時(shí)市場上零息債券的價(jià)值服從如下反拋物型方程的 Cauchy問題：Pt+σ222Pr2 +a(b-r)Pr=rP， t∈ [0，T)，P(T)=1.烅烄烆　　假設(shè)市場上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(例如股票)的價(jià)值為S(t)，則S(t)服從如下隨機(jī)微分方程：dS(t)S(t)=r(t)dt+σ1dZt，其中r(t)為市場上的 隨 機(jī) 利 率，σ1 為 確 定 性 常 數(shù)，刻畫風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)率，{Zt，t≥0｝是 標(biāo) 準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，且Cov(dWt，dZt)=ρdt.　　設(shè)t時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值為V(t，rt，St)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，歐式看漲期權(quán)在t(t≤T)時(shí)刻的價(jià)值可表示為V(t，S，r)=exp{-r(T-t)｝EE槇[(ST -K)+ St=S，rt =r]，根據(jù) Faynman-Kac公式可知，V(t，S，r)滿足如下倒向拋物型方程 Cauchy問題：Vt+ 12σ21S22VS2 +σ1σρS 2VSr+ 12σ22Vr2 +rSVS+a(b-r)Vr=rV，VT =(ST -K)+ .

　　2 歐式期權(quán)定價(jià)方程的簡化方法

　　基于特定的短期利率模型，文獻(xiàn)[5]研究表明，如果計(jì)價(jià)單位選取得當(dāng)，則將達(dá)到對原有定價(jià)方程降維的效果.本文考慮基于 Vasicek隨機(jī)利率模型歐式期權(quán)價(jià)值滿足的偏微分方程，通過計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)化，引入新的組合自變量與未知函數(shù)，減少未知函數(shù)所依賴的自變量個(gè)數(shù)，降低原有的偏微分方程維數(shù)，從而簡化模型方法.取無風(fēng)險(xiǎn)債券為計(jì)價(jià)單位，令y=S(t)P(t)為方程中新的組合自變量，^V(t)=V(t)P(t)為新的未知函數(shù)，用^V(t)代替式(1)中的V，可得其中看漲期權(quán)對應(yīng)的終值條 件 為 ^V(y，T)= (y-K)+ ，看 跌 期 權(quán) 對 應(yīng) 的 終 值 條 件 為 ^V(y，T)=(K-y)+ ，從而將原來的偏微分方程降維轉(zhuǎn)化為一個(gè)適定的一維倒向拋物型方程，簡化了原模型.

　　3 Vasicek模型下歐式期權(quán)定價(jià)方程的差分格式

　　3.1 顯式差分格式的建立

　　在 Vasicek模型下，經(jīng)過降維簡化，歐式看漲期權(quán)的價(jià)值服從如下變系數(shù)倒向拋物型偏微分方程Cauchy問題：Vt+ 12^σ2y22Vy2 =0，V(y，T)=(y-K)+ .烅烄烆(3)方程(3)中的所有系數(shù)與終值條件都是充分光滑的.在區(qū)域{0≤y<+∞，0≤t≤T｝上建立如下有限差分網(wǎng)： Δt=τ，　　t∈ [0，T]， Δy=l，　　y ∈ [0，Y].記分點(diǎn)為(yi，tj)，滿足：yi =il，　　0≤i≤ M， M =Yl，tj =jτ，　　0≤j≤ N， N =T τ.　　對方程(3)中的偏導(dǎo)數(shù)離散化，則有V[ ] tji=Vji -Vj-1 i τ +o(τ)，代入式(3)可得如下顯式差分格式：Vji -Vj-1 i τ + 12^σ2i2 τVji+1 -2Vji +Vji-1l2 =0，整理得Vj-1 i =12^σ2i2 τVji+1 + (1-^σ2i2 τ)Vji + 12^σ2i2 τVji-1， (4)其中看漲期權(quán)對應(yīng)的終值條件為VNi =(il-K)+ ，看跌期權(quán)對應(yīng)的終值條件為VNi =(K-il)+ .差分格式的穩(wěn)定性表征求解時(shí)微小舍入誤差的引入是否會導(dǎo)致解的失真，收斂性表征差分方程的解是否會收斂到原偏微分方程 Cauchy問題的解.下面討論差分格式(4)的穩(wěn)定性與收斂性.定理1 在差分格式(4)中，如果τ，i的選取滿足 τ< 1i2^σ2， (5)則差分格式(4)具有穩(wěn)定性.證明：差分格式穩(wěn)定，只需滿足當(dāng)j=N 時(shí)，max 0≤i<∞ VNi ≤ε，則對任意0≤n

　　定義1[7] 假設(shè)偏微分方程L[V]=0離散化后得到差分方程L[ΔV]=0，如果對于充分光滑的函數(shù) w(x，t)，有l(wèi)im Δt，Δx，Δy→0L[w]-L[Δw]=0，則稱差分格式 L[ΔV]是相容的.引理1[7] 假設(shè)線性偏微分方程定解問題是適定的，若其差分格式是相容的，則差分格式的穩(wěn)定性和收斂性等價(jià)，且誤差階不低于相容階.定理2 如果τ，i的選取滿足式(5)，則差分格式(4)具有收斂性.證明：根據(jù)定理1，當(dāng)τ，i的選取滿足式(5)時(shí)，差分格式(4)具有穩(wěn)定性.由引理1，只需證明差分格式是相容的.對于L(ΔV)=V(yi，tj +τ)-V(yi，tj) τ + 12^σ2y2iV(yi +l，tj)-2V(yj，tj)+V(yi -l，tj)l2 ，分別將V(yi，tj+τ)，V(yi+l，tj)，V(yi-l，tj)在(yi，tj)處 Taylor展開，得V(yi，tj +τ)=Vji + V( ) t τ+ 122V( ) t2 τ2 +o(τ2)，V(yi +l，tj)=Vji + V( ) yl+ 122Vy( )2 l2 + 163Vy( )3 l3 +o(l3)，V(yi +l，tj)=Vji - V( ) yl+ 122Vy( )2 l2 - 163Vy( )3 l3 +o(l3)，表明差分格式是相容的，且局部截?cái)嗾`差為o(τ2+l3).進(jìn)一步，差分格式是收斂的.

　　3.2 Crank-Nicolson差分格式的建立

　　Crank-Nicolson差分格式[8-9]是一種更精確穩(wěn)定的差分格式，其計(jì)算量少于古典隱式差分格式，且提高了局部截?cái)嗾`差的階.Crank-Nicolson格式對方程中的偏導(dǎo)數(shù)離散化方法如下：V[ ] tji=Vji -Vj-1 i τ +o(τ)，2Vy[ ]2ji=(Vji+1 -2Vji +Vji-1)+ (Vj-1 i+1 -2Vj-1 i +Vj-1 i-1)2l2 +o(l2).(6)將式(6)代入式(3)，得到差分格式：14^σ2i2 τVji+1 + 1- 12^σ2i2( )τ Vji + 14^σ2i2 τVji-1 =- 14^σ2i2 τVj-1 i+1 + 1+ 12^σ2i2( )τ Vj-1 i - 14^σ2i2 τVj-1 i-1， (7)其中看漲期權(quán)對應(yīng)的終值條件為VNi =(il-K)+ ，看跌期權(quán)對應(yīng)的終值條件為VNi =(K-il)+ .利用矩陣可以將式(7)改寫為M1Vi-1 =M2Vi，其中Vi =(V1i，V2i，…，VN-1 i )T，M1 =1- 12^σ2 τ - 14^σ2 τ 0 0 0 0- 14^σ222 τ 1- 12^σ222 τ - 14^σ222 τ 0 0 00    0 00 0    00 0 0 - 14^σ2(N-2)2 τ 1- 12^σ2(N-2)2 τ - 14^σ2(N-2)2 τ 0 0 0 0 - 14^σ2(N-1)2 τ 1- 12^σ2(N-1)2 τ 烄烆烌?yàn)?，M2 =1+ 12^σ2 τ 14^σ2 τ 0 0 0 014^σ222 τ 1+ 12^σ222 τ 14^σ222 τ 0 0 00    0 00 0    00 0 0 14^σ2(N-2)2 τ 1+ 12^σ2(N-2)2 τ 14^σ2(N-2)2 τ 0 0 0 0 14^σ2(N-1)2 τ 1+ 12^σ2(N-1)2 τ 烄烆烌?yàn)?　　下面考慮差分迭代格式(7)的穩(wěn)定性.引理2[10] 如果n×n矩陣A 的譜半徑ρ(A)<1，b是任意向量，則對于任一向量xk，迭代格式xk=Axk-1+b具有穩(wěn)定性.定理3 迭代格式(7)具有穩(wěn)定性.證明：記 H=M-11 M2，其中 M1，M2 均為三對角對稱矩陣，采用隱式差分格式，迭代格式(7)可記為Vi-1 =HVi.

　　其中 H 為正規(guī)矩陣.令H -λI =0，利用奇異值分解的方法[11]，可得其特征值為 λi =1-r+rcos(iπh)1+r-rcos(iπh)，　　r=12^σ2i2 τ，矩陣 H 的譜半徑 ρ(H)=max 1≤i≤n λi =max 1≤i≤n1-r+rcos(iπh)1+r-rcos(iπh) <1.由引理2可知，迭代格式(7)具有穩(wěn)定性.