R矩陣程序在共振散射實驗中的應用

　　摘 要：R矩陣理論是研究天體核反應的重要理論工具。為實現相關的數學計算, 開發了多種基于此理論的程序, 其中的DREAM程序使用了可視化的Basic宏來實現對R矩陣理論的計算, AZURE2程序則是一款利用C++編程語言制作的界面友好、實用性很強的R矩陣擬合工具。為驗證不同R矩陣工具的擬合結果, 利用DREAM和AZURE2分別對12C (p, p) 12C和21Na (p, p) 21Na共振散射實驗數據進行了擬合, 并對擬合的各項參數進行了對比。對比的結果顯示出兩種工具的符合情況很好, 可達到互相驗證的目的。

　　關鍵詞：R矩陣理論; 共振散射; DREAM; AZURE2;

　　《數學物理學報》(雙月刊)創辦于1981年4月，是由中國科學院主管、中科院武漢物理與數學研究所主辦的綜合性學術刊物。

　　反應率是核天體網絡方程的重要輸入量，其快慢和反應截面直接相關。由于在天體環境感興趣的能區，反應截面受到庫侖勢壘的抑制，直接測量非常困難，所以只能在更高能的區間進行截面測量，然后通過R矩陣理論將數據外推至低能區域[1]。Wigner和Eisenbud在1948年提出了R矩陣理論[2], Lane和Thomas在1958年將其廣泛運用到核反應的研究中[3], 1988年Barker和Warburton實現了該理論在β衰變上的應用[4], 1991年Barker和Kajino在理論中加入了輻射俘獲的處理方法[5], 2002年Brune引入了可選擇的參數化的計算方式[6]。這些工作使得R矩陣理論得到了很大發展，把理論計算和實驗結果緊密地結合起來。現在的R矩陣理論已發展成一較完善的可用來解釋實驗核物理數據的理論體系。

　　隨著計算機編程代碼的進一步開發，該理論在核反應研究中將得到更廣泛的應用。R矩陣理論在Lane和Thomas對于核反應的研究中得到了很大的推廣[3]。這個理論能在核天體物理學感興趣的能量范圍內描述反應截面。在干涉增強或減弱的系統中，共振現象使得單一的共振理論公式接近無效，而R矩陣理論為這種情況提供了一強有力的解決方案。這個理論對復合核的能級性質進行參數化，從而計算反應截面[6]。

　　在實驗物理分析過程中，對比不同理論代碼之間的計算結果是一項很必要的工作，因為不同的程序代碼存在一定的差異，計算方法上也有細微的不同。本文利用文獻中已有的實驗數據檢測不同的R矩陣工具之間的一致性。1 R矩陣程序DREAM和AZURE2在核物理研究中，MULTI[7]和SAMMY[8]是兩種基于R矩陣理論的傳統工具，但操作性較復雜，入門較困難。為使R矩陣更易使用，在Microsoft Excel的框架內基于雙道R矩陣理論，使用可視化Basic宏編寫了DREAM[9]。而AZURE2[10]是JINA的研究人員利用C++編程語言實現多道分析并極大地改進了用戶接口的R矩陣理論工具。

　　在執行數學計算過程中AZURE2添加了很多當前最新的計算庫。最重要的是，這兩種工具的用戶界面均很友好，便于操作。在誤差分析方面，DREAM利用對角協方差矩陣計算不確定度，通過MINUIT程序包進行運算[11]。AZURE2利用MINOS程序包計算誤差，該程序包可用于R矩陣形式的誤差計算，有很好的普適性。需注意，在計算誤差時，首先需得到1組可信任的能級參數，然后再計算這套參數下的誤差。2 數據分析2.1 12C+p共振散射數據12C (p，γ)13 N是大質量恒星中氫燃燒階段的關鍵核反應，也是低溫CNO循環的觸發反應[12]。而12C (p, p) 12C共振散射測量得到的質子寬度Γp將有效地約束12C (p，γ)13 N的反應率。12C (p, p) 12C是一典型的共振彈性散射實驗。

　　它利用質子束轟擊碳靶，通過探測散射出來的質子得到12C (p, p) 12C的激發函數。由于質子束和碳靶是較常見的束流和靶，因此，該散射實驗的數據很多，且達到了很高的精度。本文采用的數據是Meyer等[13]在Basel 3 MV Cockroft-Walton加速器上開展的實驗得到的。該實驗采用薄靶技術[1]，通過改變質子束流的能量，逐點測量12C (p, p) 12C的微分截面。穩定束的流強很高，測量得到的統計誤差較小，通過R矩陣擬合可得到較可靠的結論。Meyer等利用自己開發的R矩陣程序對實驗數據進行擬合，該程序沒有公開，普適性有待驗證。該程序的缺陷是無法對擬合參數進行誤差分析。

　　在進行擬合前，首先要得到入射道的道自旋宇稱。12C和p的基態自旋宇稱分別為0+和1/2+，通過兩個矢量的相加，可得到入射道的道自旋宇稱Sπ=1/2+。激發函數的擬合結果主要由入射核和靶核之間的軌道角動量以及散射角度決定。對于某特定的激發函數譜，其散射角度是確定的，因此激發函數的擬合曲線形狀只與有關。

　　通過道自旋S與軌道角動量的耦合可得到復合核激發能級的自旋，并利用π=(-1)確定其宇稱。輸入不同的以及Γp來嘗試性地計算查看擬合曲線與實驗數據的符合程度。在大致符合的情況下，再對實驗數據進行擬合，得到最終的擬合共振參數。分別利用DREAM和AZURE2兩個工具擬合激發函數曲線，得到了所需的能級性質。兩者的擬合結果對比示于圖1。圖1中標識的能級Er (MeV)和自旋宇稱為Meyer等給出的實驗值。從圖1可看到兩種工具的擬合結果基本一致，最大差別不超過5%。表1列出了數據擬合的能級信息。在誤差范圍內，兩者符合得非常好。和Meyer等的實驗參數相比，也基本一致。

　　2.2 21 Na+p共振散射數據21 Na (p，γ)22 Mg是天體物理中重要的核反應，其反應率將直接影響22 Na的豐度。22 Na的半衰期為2.6a，其β衰變發射的1.275MeV的特征γ射線是衛星探測器的重要觀測對象。其觀測量可用來檢驗各天體模型的有效性[14]。21 Na (p, p) 21 Na共振散射測量可提供質子寬度的信息，約束21 Na (p，γ)22 Mg反應率。與2.1節中的12C (p, p) 12C實驗不同，21 Na是放射性核，沒有天然存在的靶材料，只能作為束流。和穩定束相比，放射性束流的流強相對較低，進行薄靶實驗較費時。因此發展了厚靶技術[15]開展放射性束的共振散射測量。采用的數據是Ruiz等[14]在TRIUMF-ISAC裝置上開展的21 Na+p共振散射測量得到的。Ruiz等采用厚靶方法，利用21 Na束流轟擊厚的(CH2) n靶，一次性得到感興趣能區的激發函數。

　　21 Na和p的基態自旋宇稱分別為3/2+和1/2+，通過兩個矢量的相加，可得到入射道的道自旋宇稱Sπ=1+、2+。和12C+p系統不一致，21 Na+p系統可耦合出兩個道自旋，從而使道自旋與軌道角動量耦合的可能性增大，這也就相應地增加了R矩陣分析的難度。故本文通過不同的S、耦合選出χ2最小的組合。圖2示出了利用DREAM和AZURE2對實驗數據的擬合，圖中標識的能級和自旋宇稱為Ruiz等[14]給出的實驗值。

　　從圖2可看到，兩者的擬合曲線符合很好，最大差別不超過5%。表2列出了4條共振能級的擬合參數對比。由于統計誤差的增大，和12C (p, p) 12C實驗數據相比，擬合參數的不確定度也相應變大。DREAM和AZURE2的擬合參數在誤差范圍內符合得非常好，但與Ruiz等的實驗參數有明顯差別。特別是對于第4條能級2-態的Γp, Ruiz等給出的值要大得多(至少20keV)。由于Ruiz等使用的R矩陣程序是其課題組自己開發的，該程序未公開，普適性有待驗證。從表2的擬合結果來看，2-態的Γp應在42keV左右。

　　2.3 道半徑R的靈敏度研究在R矩陣擬合中，道半徑R=R0 (At1/3+Ap1/3)是一重要的輸入參量，R0可取1.1～1.5fm[16]。大部分文獻認為不同的R0對擬合結果影響不大，沒有對R0的靈敏度進行系統研究。本文利用DREAM和AZURE2研究R0不同取值對12C (p, p) 12C和21 Na (p, p) 21 Na數據擬合的影響。圖3、4示出了兩組數據擬合的χ2隨R0的變化。表3、4列出了共振態在不同R0 (R0=1.1、1.3、1.5fm)得到的能級參數。

　　從圖3可看到，DREAM和AZURE2在12C (p, p) 12C數據中表現一致，χ2均隨R0的增大而增大。而從表3可看到，χ2的變化并未引起能級參數太多的改變。對于12C (p, p) 12C數據，道半徑的靈敏度很低。而對于21 Na (p, p) 21Na數據，DREAM擬合的χ2表現出了明顯的波動性，χ2在1.25～1.3fm之間最低。AZURE2仍呈現的是χ2隨R0的增大而增大。從表4可看到，21 Na (p, p) 21 Na數據的Er隨R0的變化不大，但對于第3條能級2+態的Γp，兩種程序表現相同的趨勢，隨著R0的增大，Γp變小，DREAM的變化率約為2keV/0.1fm, AZURE2的變化率約為1.4keV/0.1fm。DREAM對第4條能級2+態的Γp表現不靈敏，但AZURE2的變化率卻很大(～2.5keV/0.1fm)。

　　故確定最優道半徑的方法為首先任意選擇R0(如1.25fm)，對實驗數據進行擬合，當得到最佳擬合后，通過改變R0計算χ2。在原子核普適的R0范圍(1.1～1.5fm)內尋找χ2的最小值。最小χ2對應的R0即為最優道半徑。原則上，做最終擬合前需找到R0的最佳值。

　　本文提到的兩種基于R矩陣理論的工具，在經過對穩定束實驗12C (p, p) 12C和放射性束實驗21 Na (p, p) 21 Na共振彈性散射的數據進行擬合后，得到了理想的擬合結果。DREAM和AZURE2兩種工具表現出了很好的一致性。在道半徑的靈敏度研究中，兩種工具表現出了一定的差異，反映各自內核的不同，從而可搭建相互驗證的平臺。本文的工作證明了這兩種常用的R矩陣工具在核天體物理研究中具有廣泛的一致性。

　　參考文獻[1] ROLFS C, RODNEY W S.Cauldrons in the cosmos[M].Chicago:University of Chicago Press, 1988.[2] WIGNER E, EISENBUD L.Higher angular momenta and long range interaction in resonance reactions[J].Physical Review, 1948, 72:29-41.[3] LANE A, THOMAS R.R-matrix theory of nuclear reactions[J].Reviews of Modern Physics, 1958, 30:257-353.[4] BARKER F, WARBURTON E.The beta-decay of8 He[J].Nuclear Physics A, 1988, 487:269-278.[5] BARKER F, KAJINO T.The 12 C(α，γ)16 Ocross section at low energies[J].Australian Journal of Physics, 1991, 44:369-396.[6] BRUNE C R.Alternative parametrization of R-matrix theory[J].Physical Review C, 2002, 66:044611.[7] NELSON R, BILPUCH E, MITCHELL G, et al.Analysis of proton resonance scattering from non-zero spin targets[J].Nuclear Instrument and Method A, 1985, 236:128-141.