論文摘要：們在學習數學時,恰當地運用形象思維可使抽象難懂的知識很容易地被掌握,有時還能輕松地打開解題思路. 在數學教學過程中,我們的思維活動通常是形象思維和抽象的邏輯思維交錯進行的過程
本文是選自《教學月刊》，《教學月刊雜志》創刊于1979年，本刊為月刊，主編：吳頌華。國內統一刊號：CN33-1279/G4，國際刊號：ISSN1671-7058。《教學月刊·中學版》把握21世紀時代特征，探討教學理論，速遞教改信息，展示教學成果，貼近教學實際，介紹先進經驗，為廣大中學教師、學校領導及相關教育工作者從事教育教學及其研究工作服務。《教學月刊雜志》獲獎情況：1996年在全國社科報刊發展研討會上被評為“優秀期刊”，在全國首次核心期刊評比中被評為全國中等教育類核心期刊，1997年我刊被中國期刊協會定為“全國百家期刊閱覽室指定贈送刊物”。
引言
提到數學,人們往往立刻會聯想到一些抽象的公式、定理、結論以及一大堆枯燥的數字、計算公式,“抽象幾乎是數學的同義詞”. 的確,數學是一門思維科學,數學思維越來越多地成為數學教育的一項重要研究內容. 近年來隨著思維科學研究的深入,以及數學教育的發展,培養學生的創新意識,提高其創新能力,已經成為數學教育改革的主旋律,數學思維越來越成為數學教育的一個重要研究課題. 但是長期以來,我國的數學教材和數學教學過分強調邏輯思維,相對忽視了對學生數學形象思維能力的培養. 數學形象思維能力在科學發現和創造發明中發揮著重要的作用,因此在數學教學中應當重視數學形象思維能力的培養. 本文著重討論形象思維在培養數學探究能力中的作用.
形象思維的分類
對數學中形象思維的“形象”,長期以來,人們的認識僅僅局限于幾何圖形,從而數學形象思維能力的培養也存在一定的局限性.事實上,數學形象包括很多類:
1. 直觀形象
直觀形象包括平面幾何圖形、立體幾何圖形、函數圖象等,常用于研究具有直觀特點的幾何問題. 如畫出文字語言所表示的圖形,添加幾何證明中的輔助線,把實際問題數學化為幾何問題,皆屬于直觀形象思維.
2. 經驗形象
一定的“形”常對應一定的“式”.解代數題時,根據代數式的結構特征,聯想與之對應的幾何圖形,把代數題轉化到幾何領域,通過研究圖形的性質而解決代數問題. 這種由式而產生的圖形,也就是經驗形象,如行程、工程問題用線段圖求解;方程問題用函數圖象求解,都是經驗形象的作用.
另外,代數公式、命題及命題推理論證等的整體形象也屬經驗形象.例如,用韋達定理構造一元二次方程.
3. 創新形象
創新形象就是對一個新的問題情景,在經驗形象基礎上想象出的一種新形象. 笛卡兒創立解析幾何,進行的也就是創新形象思維.
4. 意會形象
意會形象一般不進入人類公認的知識體系,只存在于單個人的頭腦中,它是個人對數學對象的一種整體把握. 我們在思考問題的時候,往往會有自己各自對數學語言的獨特的理解和思維方式,這種時而清楚時而模糊的把握和聯想,筆者認為就應該屬于意會形象了.
形象思維在培養數學探究能力中的作用
列寧說:“人們常常需要經過一級抽象,二約抽象等等才能達到科學的認識.” 而數學恰恰具有再抽象的特點,即需要逐級抽象而形成一個逐次提高的抽象過程. 在這個漫長的過程中,人們要反復研究形象材料,利用形象思維提供的各種想象與聯想,反復地進行抽象,而現實的具體素材和形象材料 是認識空間形式和量的關系的基礎,是過渡到抽象的概念和命題不可缺少的初始環節,是抽象思維的首要階段,正確地、巧妙地運用形象思維和抽象思維相結合的方法,可以充分發揮它們各自的優勢,互相補充,相輔相成. 在數學認識活動中, 一方面按照邏輯思維的活動規律,不斷進行分析、綜合、歸納、演繹;另一方面又運用形象思維,進行多層次的思考,并對邏輯思維的結論進行取舍,一旦達到統一,就進入創造性思維集中活動階段. 因此,運用兩種思維相結合的方法,可以充分發掘思維潛能,從而獲得最佳思維.
然而對于每個不同的學生來說,存在著傾于形象思維和傾于抽象思維兩種不同的風格. 那么一個傾于形象思維的學生,在思考問題時,在思維上有些什么特點呢?
具有形象思維傾向的學生,能迅速地把可以信息化的抽象的式子、結論等與腦中的形象聯系起來進行類比,然后把類比的結果抽象化,從而得出結論,但是這類學生往往無法表達出他們的思維過程. 有形象思維傾向的學生的特點是具有較多的形象儲備. 因此在教學過程中,教師可以根據學生的不同情況盡可能地在課程設計中安排相關內容,逐步培養他們的形象思維能力,提高學生的解題能力.
1. 數學形象思維的訓練價值
(1)有益于解題
“問題是數學的心臟”,教會學生解題是中學數學教學的首要任務. “解題者所做的腦力工作就在于回憶它的經驗中用得上的東西”,并和它的解題思維聯系起來,這是表象——聯想——想象的形象思維過程. 形象思維能力較強的人,思考問題時各種形象經常浮現眼前,活躍在腦海里,這有助于搜集有用信息,激活解題思路,從而有效地解決問題.
(2)有益于發展創造性思維
數學形象美而有趣,它不僅有利于激發學生的創造性想象,而且會引導學生主動地實驗、研究,從而發現問題,探索問題,解決問題,直至深化問題. 又由于數學創造性思維往往先通過形象、靈感、數學美感等抓住問題實質,迅速找出解決問題的突破口,再通過邏輯思維做出嚴格證明,所以對學生形象思維能力的訓練將有益于學生創造性思維的發展.
(3)有益于開發右腦潛能
大腦生理學認為,人大腦的兩個半球功能不同,左腦主管抽象思維,右腦主管形象思維;右腦的信息容量是左腦的100萬倍. 而有關資料卻證明,在數學上抽象思維是形象思維的幾十倍. 可見,在數學學習上,右半腦遠遠沒有得到開發,而其開發潛力又是巨大的. 加強形象思維訓練就是開發右腦潛能的一個重要途徑.
2. 幾何領域中的形象思維應用幾例
(1)圖表的應用
(2)模型演示
如在教學中要求學生自制正方體,并備有表示平面的紙板和表示直線的竹簽,學生利用自制模型演示空間的線面的位置關系,形象、直觀,而且能使課堂氣氛興趣盎然.
(3)采用現代化教學手段
例如,在講解線面垂直判定定理和性質定理時可制作課件,以正方體為模型,使之從不同方位轉動,從而得到不同位置的垂面,使學生從中得到感性知識,且加深了對定理的各種情況的認識,從而培養了學生對該定理的運用能力.
3. 解題中形象思維的體現
我們在學習數學時,恰當地運用形象思維可使抽象難懂的知識很容易地被掌握,有時還能輕松地打開解題思路. 在數學教學過程中,我們的思維活動通常是形象思維和抽象的邏輯思維交錯進行的過程. 但是形象思維的生動形象性、概括性、運動性、層次性等特征在數學中有著抽象邏輯思維不能比擬的作用.
比如,我們經常用到的數形結合思想,用此思想方法研究問題就是注意數與形的結合,或者把幾何圖形轉化成相應的數量關系問題,運用代數、三角等知識去討論;或者把數量關系轉化成相應的圖形性質問題,借助于幾何知識加以解決. 這種數形結合的思想集中了數量分析與圖形的直觀,利用數和形的各自優勢,往往能使我們盡快地找到解決途徑或簡化解題過程. 這種數形結合的思想方法往往是利用數學經驗形象構圖解題.
4. 加強模型教學,促進思維不斷簡縮,發展數學形象思維
教學中,把數學基本問題及其解法,幾何中的概念及圖形、定理及證明,代數中的公式及應用,代數式中反復出現的特殊結構等分別組塊,作為模型訓練成經驗形象,復雜問題便可看成關于模型的簡單問題,從而迅速架通已知向未知的橋梁,簡縮思維過程. 建模就是由實際問題提煉出數學模型的過程. 每一種數學模型都是形象思維與抽象思維的完美結合. 建模體現了“數學教學是數學活動”的教學觀,是發展學生數學形象思維、培養創造才能、促進數學發現的有效方法. 教學中應引起足夠的重視.
形象思維致誤分析
運用形象思維給我們的解題帶來了許多方便,也將優美的解題過程形象地展現在我們面前. 而與此同時,由于不注意作圖的準確性、合理性、全面性,也將會導致解題失誤,甚至錯誤.
由此可見,形象思維在抽象的數學王國里無處不在,并且有著舉足輕重的地位. 我們在進行教學設計時,應盡可能地考慮不同類型學生的特征,合理安排教學內容,將形象化思維滲透到日常教學中,發揮形象思維在培養探究能力中的作用,培養學生解題能力,優化學生的思維品質,并在學生的認知結構中有機地溝通數學各分支的內在聯系. 同時應做到形象思維與抽象思維相互滲透,互為表里,互相補充,使它們有機地結合起來,就能不斷提高學生的數學思維能力,發揮人腦的整體功能,達到教學目標.
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