大學文科數學教學方法的實踐與探討

　　隨著大學文科數學課程的日益普遍，預計該課程將逐漸成為與理工科、商科《高等數學》同等重要的課程類別，對文科數學課程設計的討論與實踐，將對該課程教學研究與實踐的發展成熟起到必要的推動作用。本文結合教學實踐對大學文科數學的教學方法與課程設計進行初步探討。

　　《中國人民大學學報》(雙月刊)創刊于1987年，由中國人民大學主辦。該刊一貫堅持解放思想、實事求是，倡導理論創新和學術創新，努力做到思想性與學術性的統一、理論性與實踐性的統一。

　　關鍵詞：大學文科數學 數學思維 教學方法 教學實踐

　　中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578(2019)06-0018-02

　　本世紀以來，國內越來越多的高校文科專業開始開設高等數學課程。至今，文科數學已普遍占據高校高等數學教學的相當比例，成為大學數學教育的重要組成部分。相應地，該類課程教材的編寫與教學方法的研究也逐漸成為熱點。筆者結合四年以來在文科專業的教學經驗，對大學文科數學的課程設計及教學方法進行以下探討。

　　1 學生特點與教學目標

　　首先，相對于理工、經濟、管理等學科的學生，文科專業學生在數學學習中有以下特點：

　　(1)無法從本專業渠道了解數學在現代生活中的應用。新生在初進高校時普遍對數學的實際應用不甚了解，但理工商科的學生很快可以從自己所學專業獲得足夠的信息，了解到數學學習的重要性，而文科專業的學生若對數學沒有太多興趣，很難再接觸到這方面的內容。

　　(2)對是否應當學習文科數學課程有不同的看法。在筆者四年多的教學實踐中，大部分同學對文科數學課的學習持正面評價，如普遍感到在邏輯思維、推理等能力的訓練上有較大的收益，但也有部分同學雖然對老師的教學有不錯的評價，但認為該課程對個人專業發展并無太大必要，從而學習缺乏興趣和足夠的動力。

　　(3)對數學的掌握程度差距較大。文科生中有一定比例的數學基礎較好、對數學比較感興趣的同學，但亦有相當一部分同學由于中學階段的數學基礎較差，對學習數學有畏懼的心理。

　　以上特點也從其它高校的調查研究結果中得到驗證[1，2]。

　　作為首屆“國家級教學名師”，南開大學的顧沛教授曾總結過文科教學的教學目標[3]：(1) 掌握必要的數學工具;(2) 學習數學文化;(3)培養數學思維方式;(4)培養數學審美;(5)為終身學習打基礎。

　　基于以上學生特點和教學目標，筆者在編制教學計劃時，主要遵循以下原則：(1) 因材施教;(2)加強對數學應用、課程價值的介紹;(3)重視基本概念、基本方法及關鍵性思想的講解，不片面追求解題難度;(4)講解內容應具有可擴展性，幫助學生深入探索感興趣的知識和應用。

　　2 課程設計與教學方法的思路

　　2.1 課程介紹

　　目標是使同學們認識到數學在實際應用中及對個人發展的重要性，從而提高學習興趣。主要分為以下兩個部分：

　　2.1.1 舉例說明現代數學的實際應用

　　該部分雖然并非課程考核的內容，但通過對數學應用的介紹，可以使學生認識到數學的重要性，對整個課程建立良好的第一印象。對于實例的選取應注意到三個方面，即前沿性、貼近生活以及容易理解接受。筆者在實際教學中選取了以下幾個例子：

　　(1)數論與密碼學，從網絡購物中個人信息的加密問題開始，介紹RSA密碼、費馬定理的基本內容和相關趣聞，最后引出黎曼猜想等理論對于網絡空間安全的影響。

　　(2)商品推薦問題，從“尿布與啤酒”的經典案例說起，引導學生討論淘寶、京東的推薦系統，然后引出機器學習、大數據問題的介紹。

　　(3)以音頻文件的存儲問題開始，從線性方程組的角度，依次介紹取點法、傅里葉分析、小波分析，然后到稀疏解問題，解釋這些研究對音頻、圖像、視頻文件的處理的巨大推動作用。從教學效果來看，學生普遍對這些實例產生濃厚的興趣，聽課過程中保持了高度的注意力。

　　2.1.2 通過實例側面介紹本課程的作用

　　在上一部分內容引發學生興趣的基礎上，老師可主動提出學生可能會注意到的問題：雖然現代數學的應用既重要又廣泛，但文科學生學習數學有什么意義呢?這個問題很多名師都有過很好的回答，但如果簡單照搬的話可能無法給學生直觀的認識，因此，筆者也通過一些實例來進行說明，如：

　　(1)利用“歐拉、狄德羅的辯論”的例子，說明對不了解的知識的排斥、懼怕心理可能會導致在簡單障礙面前的退縮，然后回顧數論與密碼學的例子說明數學理論常常會比應用超前，進而說明數學學習對未來學習、工作的潛在幫助。

　　(2)利用一些新聞如“我國每年約有20億人死于不良輸液反應”及該新聞獲得的評論來說明即使是大家都明白的數學錯誤，也會使大家的關注點完全偏離文章主要內容，而這些錯誤的避免并不在于知識的掌握，而在于學習數學知識時所進行的數學素養、思維方式的訓練。

　　(3)利用“瓦爾德與失蹤的彈孔”的例子說明數學文化、數學素養對思考問題的幫助。

　　這些實例可以從側面幫助學生理解本課程對于個人能力與綜合素質的提升所具有的意義。

　　2.2 課程設計的技巧

　　2.2.1 基本內容與可擴展性的結合

　　在具體教學中，考慮到學生特點，重視基本概念、基本計算及應用的講解，忽略復雜的計算和特殊的技巧，保證大部分同學都能掌握。對復雜或不易理解的重要內容，盡可能細化分類，如極限部分將例題分為利用初等函數性質、利用四則運算法則、利用分式化簡、利用根式差的有理化、利用兩個重要極限等情形依次講解，在講第一換元積分法時，先充分講解、練習線性換元，然后再介紹多項式換元，最后過渡到一般的換元情形。在基本內容熟練的基礎上，每一階段內容在做小結的時候，適當提及更進一步的內容、相關的數學問題及其實際應用，方便有興趣的同學在課下做進階閱讀及學習。 　　2.2.2 適當運用類比以幫助理解

　　由于課時、難度的限制，課程中很多定理無法講解證明，因此，引入一些思路相似的簡單例子可以在一定程度上彌補省略證明的不足。如在講洛必達法則時，將全班分成兩組，假設全班共同開公司，剛開始一段時間的分紅只給甲組，然后以后每次分紅乙組都是甲組的兩倍，則在遙遠的將來，乙組得到的分紅將趨向于甲組的兩倍，最后總結兩者的共同點：增長率比值的趨勢確定了總體比值的趨勢。

　　2.2.3 結合實際生活擴展舉例

　　對于一些與實際生活聯系緊密的例題，講解時可以不局限于題目的解答，而是結合實際擴展介紹其應用。如在講解完函數極限后，將連續復利作為例題，總結影響最后還款額的兩個主要因素：時間與利率，然后討論校園貸、回租貸問題，當場從網上搜索例子，然后利用連續復利估算，當同學們發現剝離騙局中的誤導信息，計算出一年的還款額可達借款的幾萬、甚至幾十萬倍時，都會忍不住發出驚嘆的聲音。

　　2.2.4適當介紹數學史

　　很多教學研究都探討了在講解中加入數學史對增強學習興趣等方面的有效幫助[4-8]。事實上，數學史中還有更多的有益信息值得挖掘。如：

　　(1)借助數學家的人生得失，如牛頓晚年耗費精力于神學研究及無益的爭論，引發學生對個人規劃和發展的思考。

　　(2)借助微積分發明人之爭后英國與歐洲大陸數學界學術交流的停滯對英國數學的影響，向學生強調交流思想的重要性。

　　(3)借助萊布尼茨對各國科學院建設的推動及科學院建設對各國工業發展的影響，康熙對萊布尼茨建議的忽視及對中國近代史的影響等，引發決策者的科學素養對企業、行業、國家發展的影響的思考，幫助學生認識到培養數學素養的重要性。

　　2.3 課程考試

　　改革考核形式也是大學文科數學課程改革常常提到的一個要點，很多研究者們探討了讀書報告、半開卷、概念題及弱化解題技巧等考核思路[1，2，9，10]。筆者在教學過程中嘗試了以下考核方式：

　　2.3.1 平時成績的考核方式--課堂測驗與讀書報告

　　課堂上不定期進行5-10分鐘測驗，測驗題目弱化解題技巧與計算能力，重視學生對解題過程的掌握。在學期內布置一定的選題，如數學家傳記、數學專題等，供學生發揮自己的總結、文字能力，同時也通過報告加強學生對數學的基本概念和原理方法的理解。

　　2.3.2 期末考試題目的設定

　　計算、證明性的題目同樣強調對基本概念、基本解題思路的考核。除此之外，結合學生的專業及學習特點，適當設定讀圖題、論述題增加發揮空間。讀圖題可以考察學生對概念的形象理解，如極限、連續性、可導性、積分的幾何意義等。論述題可以結合數學概念的形象理解、數學的實際應用、學生專業等進行設定，如《尋隱者不遇》中蘊含的數學思想，結合連續復利公式討論個人信貸管理，及針對法學院、知識產權學院學生的，由笛卡爾、費馬、萊布尼茨等數學家的法學背景討論法學與數學的關系，線性方程組消元法的知識產權應屬于高斯等數學家還是《九章算術》的不知名作者等。最后，考慮到部分學習成績較好、對數學比較有興趣的同學，試卷中也會出一道技巧較多的趣味題目作為補充。

　　3 結語

　　隨著大學文科數學課程的日益普遍，預計該課程將逐漸成為與理工科、商科《高等數學》同等重要的課程類別，對文科數學課程設計的討論與實踐，將對該課程教學研究與實踐的發展成熟起到必要的推動作用。幾年的教學實踐表明，由于精心進行了相關課程設計，不斷改善教學方法，廣泛吸取國內同行的經驗，較好的提高了我校文科學生學習高等數學的興趣與熱情，所授課程在每學期課程評估中一直位居學院全部課程的前10%。筆者也希望通過本文拋磚引玉，繼續學習、討論教學方法，提升自己的教學能力與水平，為提高我校文科高等數學教學水平做出新貢獻。

　　參考文獻：

　　[1] 何穗，胡典順，李書剛.大學文科數學教學的現狀與對策[J].數學教育學報，2013，22(2)：47-50.

　　[2] 朱紅鮮.如何提高大學文科數學的教學效果[J].教育教學論壇，2018(17)：185-186.

　　[3] 顧沛.文科數學的教學改革[J].中國大學數學，2004(08)： 11-13.

　　[4] 趙曉芹，胡楊利，周富照.大學文科數學教學的認識與實踐[J].湖南工業大學學報，2010，24(2)：106-108.

　　[5] 蘇亞娟，王秀旺.將數學史融入大學文科數學教育之必要性[J].教育教學論壇，2011(02)：185-186.

　　[6]劉莉.如何提高文科學生學習大學數學的興趣[J].職業時空，2011，7(12)：89-90.

　　[7] 卜維春，李曉，李新璐.將情感融入大學文科數學教學之必要性[J].數學學習與研究，2013(01)：4+6.

　　[8] 侯江霞.提高大學文科數學課堂教學效果的探索[J].教育教學論壇，2017(18)：137-138.

　　[9] 顧沛.培養學生形象思維、邏輯思維、辯證思維的相輔相成——兼談“大學文科數學”的教學改革[J].中國大學教學，2010(03)：31-35.

　　[10] 張永新.大學文科數學教學目標的雙重性及教學對策[J].樂山師范學院學報，2012，27(11)：34-35+97.