深度學習下高等代數混合式教學模式的構建與實踐

　　摘要：高等代數作為大學數學專業的專業基礎課程，其高度的概念抽象、對象抽象、推理抽象易使學生感覺枯燥，進而導致學生學習興趣和學習動力的喪失.為此，構建一種順應新形勢的混合式教學模式成為數學教師必須思考的問題.通過對高等代數的課程特點與教學現狀的分析，探究了深度學習下高等代數課程混合式教學模式的構建與實踐.

　　本文源自余躍玉， 高師理科學刊 發表時間：2021-07-28

　　關鍵詞：混合式教學模式;深度學習;高等代數

　　隨著精品共享課程、大學慕課等一系列新型網絡在線教學模式的興起，傳統的課堂傳授形式面臨著前所未有的挑戰，這迫使各個高校競相進行一系列的教育教學方法和模式變革[1-2] .如今，國家大力倡導金課、課程思政、一流課程建設，這使教師的教學模式有了更加廣闊的選擇空間.如何將在線教學資源與線下課堂教育教學深度融合，激發學生的學習興趣，使學生能在有限的學時內提高課程學習效率，提升其綜合應用能力，這是新形勢下大學數學教師必須探索的基本問題.本文通過對高等代數的課程特點與教學現狀的分析，探究了深度學習下高等代數課程混合式教學模式的構建與實踐.

　　1 課程特點與教學現狀分析

　　1.1 高等代數的課程特點

　　高等代數是初等代數的抽象與延伸，它既包含了線性代數的基本知識理論，也涵蓋了多項式理論等非線性代數成分.它的課程特點主要有：

　　1.1.1 公理化的代數定義在高等代數課程中比較普遍 高等代數課程中存在較多的公理化定義，如多項式被定義為符號或文字 x 的形式表達式 1 1 1 0 n n n n a x a x a x a ? ? ? ? ? ? ，這種統一的形式定義拓寬了符號 x 的表示范疇，使得它不僅能表示未知數，也能表示其它待定事物;再如線性空間的概念中也是通過共性的研究，抓住線性空間的實質性特征，即 2 個集合、2 種運算、8 條運算規則，給出了線性空間的公理化定義;二次型、線性變換、內積等概念都是利用公理化的方式引導學生發現事物的共性，抽象出代數定義的實質，并通過其中的運算去解釋代數的內在結構，這樣可以避免拘泥于具體的數學對象和數學問題，自然使得抽象成為代數學的主要特征.正因如此，代數學被理解成為脫離了具體數字，研究一般數學關系的科學.

　　1.1.2 抽象問題的矩陣表示是化簡高等代數問題的重要方法 高等代數中大量的內容是圍繞線性問題展開的，在同構的意義下這些問題的線性運算又等價于相應的矩陣運算，這表明利用矩陣去研究線性問題具有理論與現實的依據.如線性方程組的矩陣表示極大地簡化了其書寫與運算的難度;利用線性變換在線性空間某組基下的矩陣、基與基之間的過渡矩陣等，將抽象的變換用具體的矩陣工具表示出來，達到了化抽象為具體的效果;二次型的矩陣表示能夠更好地反映出二次型的正定性分類;對于歐氏空間中 2 個向量? ? , 的內積 ? ? , ，可用它們在某組基下的坐標 x y , 與這組基的度量矩陣 A 表示為 ? ? , ? x Ay ? .

　　1.1.3 復雜的代數結構是高等代數學習的基本對象 代數結構是代數系統的主要研究對象，高等代數研究的代數系統主要是線性空間，有些抽象線性空間的結構與性質研究起來比較困難，在教學中教師可以向學生滲透同構思想，引導學生應用同構思想將抽象空間化為簡單直觀的向量空間，利用轉化思想把線性空間表示成基向量組的生成子空間，進一步可以解釋其中的線性運算性質，從而可以清晰地從整體上把握住其中的代數層次結構，分清其代數結構類型.

　　1.1.4 等價分類思想的掌握需要學生較強的理解能力 對各種代數系統的研究對象進行有效分類是代數學研究的基本任務之一，高等代數的大量研究對象都貫穿著等價分類的思想.如矩陣的等價、合同和相似關系都滿足反身性、對稱性和傳遞性，這 3 種關系都是等價關系.利用等價分類思想處理代數問題可以為復雜的代數問題理出一條清晰、完整、嚴密的思路，起到化整為零、化繁為簡、化難為易、各個擊破、分而治之的作用，但等價分類思想的掌握需要學生具有較強的理解能力.

　　1.2 高等代數的教學現狀

　　首先，從教學對象來看，目前高等代數教學主要是面向 2000 年后出生的學生，相比于以前的學生來說，這些學生的市場觀念強烈，網絡信息豐富，個性思維開闊，導致他們的虛擬溝通能力已遠超現實溝通能力. 再加科技的高速發展，人才競爭的加劇，不少學生會因為內心空虛而恐慌，會因浮躁的心情而缺乏團隊協作意識，會因承受挫折的能力較弱而對學習不感興趣.如何提高學生的學習興趣，這將是教師首先思考的問題.

　　其次，由于高等代數的高度抽象性和思維的多元化，導致部分學生感覺高等代數內容龐雜，知識點分散，基本概念和主要定理難以理解，代數問題的矩陣呈現神秘莫測，學習起來比較吃力.這就要求教師在教學時，不能僅停留在講清楚基本知識點上，還要理清課本各個內容之間的基本脈絡，提煉出隱藏在背后的深層次的數學思想方法，這對學生數學素養的提高無疑是很有意義的[3].

　　最后，高等代數是學習其它后續數學課程的基礎，也是數學相關專業研究生入學考試的必考科目之一，但是，在減負的大環境下，大部分高校高等代數的教學課時都十分有限.這就要求教師在教學中，適當地利用網絡優質課程，鼓勵學生自學數學文化、數學讀物、名人訪談，以及部分練習和部分考研試題.引導學生深入理解代數理論的來龍去脈，深入思考代數結構的表示方法，創新教學內容、教學方法和教學流程，提出基于深度學習的混合式教學模式.

　　2 基于深度學習的混合式教學模式的構建及課程設計

　　高等代數具有的高度抽象、推理嚴密和應用廣泛的特點，對學生的抽象能力和邏輯思維能力要求較高，淺層學習的教學模式已經不能適應教學的要求，基于深度學習的線上線下混合式教學模式將在教學的研究與實踐中得以普及.

　　2.1 深度學習及其層級

　　深度學習的概念來源于瑞典哥德堡大學教育心理學家馬頓(Feren Marton)和薩爾喬(Roger Saljo)的研究.1976 年，他們運用現象描述分析法，將學習者在面向文本閱讀任務時的處理方法分為 2 類，一類是試圖理解文本，另一類是試圖去記憶文本[4] .根據學習者獲取與加工信息的方式對學習過程進行了質性描述，秦瑾若[5]等認為試圖理解文本是在理解的基礎上，學習者能批判性地學習新思想，將它們融入到原有的認知結構中，將眾多思想進行聯系并遷移到新的情境中，從而做出決策并解決問題的方法，稱之深度學習方法;試圖去記憶文本是采用再現方式的學習，主要體現在信息無關聯的記憶，學習者只是機械、被動地接受知識和孤立地存儲信息，而不去關注文本背后的作者意圖，這種方法稱為淺層學習方法.淺層學習只能發生量變，而深度學習卻能引起質變.

　　實踐中為了檢驗不同學習方法下的學習效果，1982 年，約翰·比格斯(John Biggs)與柯利斯通過大量的定性研究，提出一個可觀察學習效果結構的 SOLO 層級模型(見表 1).按照約翰·比格斯的觀點， 高質量學習效果的達成， 需要關注學習者在學習的過程中是否采用了更加優質的學習方法，是否達成了更加優質的學習效果2個重要因素.1984 年，荷蘭學者范·羅蘇姆(E.J.van Rossum)對學生的深度學習和學習效果之間的關聯情況的研究，論證了學生的學習方法與 SOLO 結果之間存在著強烈的相關性.數據表明，采用深度學習的學生中有 79.4%人獲得了關聯結構或延伸性抽象的學習效果(SOLO 模型中的高質量學習效果)，而使用淺層學習的學生卻無一人獲得超過多元結構的學習效果[6] .

　　2.2 深度學習下混合教學模式課程設計中的重要因素

　　崔允漷[7]教授認為單純的課堂教學最多只能達到 SOLO 分類模型中的第二級，學生難以達到深度學習的高質成效，因此需要采取混合式的教學方式.1999 年，混合式教學在美國被率先提出，這種教學方式主張借助互聯網的信息優勢，激勵教師發揮啟發、引導、監控作用，充分挖掘學生學習(學習主體)的主動性、積極性與創造性.國內的《國家中長期教育改革和發展規劃綱要(2010—2020 年)》[8] ，強調推進信息技術與高等教學的深度融合，促進教育內容、教學手段和方法的現代化.何克抗[9]指出，混合式學習就是將傳統學習的優勢和網絡學習的優勢結合起來，做到優勢互補，獲得最佳學習效果.混合式教學整合了線上與線下資源，不僅符合政策導向，同時也為深度學習目標落地提供了載體.為實現學習的深度化，需要從4個關鍵因素去分析混合式教學.

　　2.2.1 網絡資源的創建、遴選和優化 基于深度學習的線上線下混合式教學模式中，網絡資源的建設、遴選及優化是線上教學的重要環節.首先，教師應為學生提供盡可能豐富的交互式學習平臺，學生可以和全國在線的學生、教師和各領域專家互動交流討論，取長補短，相互學習，其中在網站平臺上可劃分一些特定板塊(如視頻學習、作業、測試、討論等)，允許學生自由上傳文本資料、動畫圖片、相關視頻等資源，這些資料可作為后期綜合評價學生成績的標準之一.其次，教師可從眾多的網絡共享資源中，認真遴選有助于提高學生自主學習興趣的材料，如所授知識的來龍去脈及其相關人物軼事，激勵學生愛國熱情，引導學生完成 SOLO 模型中的第一層級學習任務.再次，對教學中的重難點問題的處理上，教師可以考慮錄制一些微視頻，這不僅能加深學生對知識的感知維度，促使他們全面掌握所授知識點，完成第二層級的學習任務，還能滿足每個學生的個性化學習需要。

　　2.2.2 客觀教學的主觀化轉變 在深度學習下混合式教學模式中的線下課堂教學中，為了獲得多元結構、關聯結構或延伸性抽象的學習層級，尋求深度學習的實現之道，最為關鍵的過程就是從客觀教學走向教學感知.其中的客觀教學，實質上是基于教師視角的教學，它強調課程的體系完備性、結構完整性和邏輯連貫性等.然而，基于大學數學視角編排的完備教材體系、嚴密思維進程和連貫邏輯理論，易導致學生實際學習效果差強人意，此時客觀教學的感知構建成為必然.教學感知是指學生所能體驗到的客觀教學在其心目中的構建物，是學生認知經驗與客觀教學相互聯系、相互作用的產物.相比于客觀教學呈現給學生的零碎、孤立的認知結構，學生所感知到的知識體系才是更加有力，亦更有針對性的.為實現從客觀教學向教學感知的質的飛躍，教師的教學需要從“提供一種客觀的‘如何教’”轉變為“關注學生‘主觀學’”，即教學的重心不再是教師對所教課程的設計，而是要關注學生如何理解授課教師對課程的設計意圖和目的.這就需要教師轉變教學角度，從學生學習經驗的差異性去分析他們對所授課程的感知力，以學生的眼光來審視自己的課程設計.

　　2.2.3 線下課堂中教師的優質講授 優質講授是科學性與藝術性、哲理性與技術性相統一的講授形式.對于線下授課教師，為提高學習者深度學習的效果，首先，要讓自己與其所教的學科融為一體，用知識的力量充分展示自己淵博的學識、良好的修養、真實的情感與健康的人格，彰顯出一個教師的完整性、深刻性.其次，應充分發揮優質講授中的啟發力量和人性力量，去喚醒學生內在的潛能和對知識的渴望，并幫助學生重思自我、重塑真我，從而達到深度學習的目標.2009 年，韋伯斯特(Beverley Webster)等運用 CEQ 對香港大學 1 563 名學生進行實驗調查，結果發現，線下課堂中優質講授正向影響著學生對教學內容的感知要素，它不僅顯著地正向影響著傳統教學模式中的淺層學習，更顯著地正向影響著混合式教學中的深度學習[10].

　　2.2.4 合理完善的考核評價體系 教學質量的考核評價主要是為了衡量學生掌握知識的程度和解決實際問題的能力，合理完善的考核評價體系應當以學生為中心，從學習動機、學習態度、學習時間投入、學習能力等主觀因素，以及教師的教學水平、學校的學習條件、環境、管理和服務等客觀因素去設立標準.由于基于深度學習的混合式教學是以知識為依托，以能力為主線，旨在激活學生的內在綜合能力，其教學評價標準是多元的，這意味著教師不僅要對學生所獲知識和技能等顯性能力進行評價，更要對學習的態度、習慣、方法和能力等隱性因素進行評估.線上線下混合式教學的多平臺承載因素也要求教學評價形式應是多元的.為此，合理的考核評價體系可以從學生對學習的投入度、教師對學生的影響度、學校對學生的支持度和學生自身的學習獲得度等4個維度去設定.

　　3 深度學習下高等代數課程的混合式教學模式實踐

　　科學技術迅猛發展，高等代數的教育教學也面臨著巨大的挑戰，為了應對這瞬息巨變的世界，提升深度學習下高等代數課程學習效果，對2個數學與應用數學專業班級的高等代數教學進行了教學實踐對比，其中 1 班采用混合式教學模式，2 班采用傳統教學模式.以北大數學系前代數組所編教材[11]中的線性變換矩陣表示的教學為例，來分析研究混合式教學模式的構建過程.

　　線性變換是線性空間中元素之間存在的一種映射關系，它是線性映射與變換的推廣與有機結合，是保持線性空間中元素間的線性關系不變的變換.線性變換與矩陣的混合式教學實踐可按6個步驟進行.

　　3.1 學習目標的設計

　　線性變換的矩陣是繼線性變換的定義、線性變換的運算后的學習內容，它包含三大塊內容，第一板塊是線性變換與基，向學生指明線性空間中任意向量在線性變換作用下的像完全取決于該線性變換作用在線性空間的一組基上的像，同時指出n 維空間的一組基和任意 n 個向量都能確定空間的一個線性變換，繼而引出線性變換的存在唯一性定理;第二板塊是線性變換的矩陣概念、線性變換的運算與矩陣運算的對應關系，以及利用線性變換的矩陣直接計算線性空間中某向量在該線性變換下的像的方法;第三板塊是討論同一線性變換在不同基下的矩陣關系，推出相似矩陣的概念，進而給出相似關系的等價性，同時指出2個相似矩陣也可以看成同一線性變換在不同基下的矩陣.

　　根據線性變換的矩陣學習內容，設計學習目標時可分2個目標層次.一個是淺層目標，它要求學生掌握線性變換的概念、性質及其運算(包括線性變換的加法、數乘、乘法以及可逆變換的逆運算)，掌握線性變換的矩陣表示方法，線性變換的運算與其矩陣運算的關系，理解同一線性變換在不同基下的矩陣關系，掌握矩陣相似的概念與性質.另一個是深層目標，它不僅要求學生完全掌握淺層目標，還應補充 SOLO 分類模形下的第三、四、五級學習層級目標，具體包括：第一，由于線性變換的線性運算的封閉性，作為深度學習來說，學生有必要從線性空間的角度去重審線性變換，啟發學生去思考線性變換空間的基、維數和坐標;第二，依托線性變換的矩陣表示，讓學生熟練掌握線性變換的矩陣形式書寫法，并能通過矩陣的問題去解決抽象的線性變換問題，使學生很好地掌握轉化的思想;第三，引導學生利用矩陣的相似關系分析線性變換在不同基下的矩陣形式，并激勵學生積極思考線性變換的化簡問題，為后一節線性變換的特征值與特征向量的學習埋下伏筆，同時也能使學生學會對問題進行合理的簡化和量化，提高建立數學模型的能力;第四，在課程教學結束之后，鼓勵學生歸納知識獲取的途徑，養成集體探討的習慣，收集并整理線性變換的應用問題，從中合理提出新思想、新方法，激發學生教學感知深處的創新創業意識.

　　3.2 對學習者的預評估

　　由于學生的個體差異以及前期預備的基礎知識參差不齊，各種社團活動以及第二課堂等也會占用學生的大量學習時間，這些都會導致教師對學生的預評估難以在線下完成，為此，教師把這一環節通過線上來進行.具體辦法是，先在網站上開辟一些特色板塊，如作業板塊可以公布一些小作業(關于線性變換的判別，線性空間中某一向量在某一具體線性變換下求像，求線性空間的基元的像等)，讓學生去思考、去討論、去練習，然后根據學生完成情況和討論的活躍情況對學生的學習情況進行預評估，從中了解學生對基本概念、基本運算技能的掌握情況，以及學生學習過程中反映出來的學習偏好等;客觀性的測試模塊，可以讓學生隨時隨地檢驗自己的學習情況，做到自己心中有數;投票調查、課程討論和學生的課后反思都是教師及時了解學生學習情況，方便師生溝通，是教師能夠有效地對學生進行預評估的一個重要窗口.

　　3.3 積極學習氛圍的營造

　　線上學習平臺上的特色板塊中的討論區，已經為學生的學習營造了積極的學習辯論的文化氛圍，但作為高等代數這門課程的特點，由于大量的數學符號和數學公式的存在，使得在網絡板塊上的交流討論不是十分方便.據每學年對新生的調查發現，每個學生都有騰訊 QQ 號碼，而且使用比較頻繁，因此教師選擇如 QQ 這樣的即時通訊平臺作為實施深度學習下混合式教學的交流工具，并建立了交流群.這種工具的使用簡單方便，不僅能傳遞文字、表情等信息，還能傳送語音、圖像以及各種電子文檔，這對高等代數的學習十分方便，學生收發討論題目和答案都可通過圖片來傳遞.有時 QQ 還可作為小型視頻會議的工具，但更重要的是利用這樣的平臺可以提高學生的參與度，培養學生的學習興趣，激發學習的積極性，增進師生之間的情感交流，營造積極的學習氛圍.網絡平臺能使有限的課堂教學無限擴張、延伸.有了交流群，線上視頻或線下課堂中存在的問題都可以在群上討論.對于討論時解決不了的問題或作業中存在的典型錯誤，教師可以在課堂上講解或者用手機錄制微課發到交流群中.網絡平臺也有利于學生查閱教師上傳的電子書籍和文檔，群打卡可方便教師掌握學生學習的參與情況等.

　　3.4 課前課后學習的網絡平臺支撐

　　在對線性變換的矩陣進行課堂講授之前，教師會通過 QQ 平臺給學生布置一些小任務，如通過基于深度學習混合式教學模式建立的網站平臺，學生可以通過“自主學習”欄目提供的講義、視頻、教案及練習等進行課前自主預習;還可建議學習小組成員以小組為單位，收集和討論有關線性變換的矩陣的應用問題等，使學生初步掌握線性變換的定義與運算，了解線性變換的矩陣的概念來源和用途.目的是為了快速高效地激活前面所學的預備知識，為課堂教學打下了堅實的基礎，為學生對新的知識的感知提供物質支撐，讓他們親自收集資料能增強學生學習的參與意識，同時還能激發他們探究新問題的意識.

　　與傳統的教學模式一樣，深度學習下混合式教學模式中，課堂教學也是整個教學任務的關鍵環節，教師對教學內容的講解是課堂教學的核心，它決定著學生對事物本質的認識程度、理解水平和實際應用能力.教師對教學內容的優質講解過程既是知識外化的過程，也是學生接受和理解知識的過程.根據預先設計的教學內容和教學目標，在線性變換的矩陣的講解時，教師和學生的一切活動，都應圍繞著線性變換與基的關系，線性變換的矩陣以及矩陣相似三大重點內容來展開，以保證淺層教學目標的順利實現.

　　課堂教學后期，教師采用在網絡平臺上發布在線測試題或課后拓展任務.在線測試題主要是針對本次授課內容的相應概念、性質的理解，以填空或選擇題的方式讓學生獨立完成自己檢測和自我評價;線下還會布置基礎性的習題，如求一些已知的線性變換在對應的線性空間的特定基下的矩陣;給出空間的一個線性變換，去觀察它在不同基下的矩陣的關系，讓學生以小組為單位共同討論，解決問題，從而達到學習效果的提升.

　　3.5 知識目標的深度加工

　　面對線性變換的矩陣內容的深層目標，教師的教學不能停留在以教學大綱為中心，對課本知識進行理論講解階段，否則會使大部分學生習慣性地處于被動地接受學習的狀態，長期下來會助長學生的依賴心理，扼殺他們的探究創新精神，難以達到深層教學目標.為此，教師必須在學生學習的主觀能動性上下功夫，對學生的學習進行深加工.利用多元化教學平臺，創設更多更深層次的教學目標，并以此不斷地強化學生的數學素養，融入多種數學思想，增強學生的創新意識.

　　3.6 學生學習所獲的評價

　　在任何教學過程中，必要的評價和反饋(如教師評價、同伴評價、自我評價等)可以使學生的學習得到不斷加工、修正和精細化.深度學習下混合式教學更需要評價反饋的過程，其評價標準和評價都是多元的.

　　4 結語

　　基于深度學習的混合式教學模式使得教學不再只局限于線下課堂講授，它還要求師生參與線上的教學、練習、測試、討論和調查，從多方位、多角度去教會學生主動探究未知的東西，培養他們的學習主觀能動性.學生在學習中不再機械地記錄教師的演講內容或者重復練習，而是進行同伴協作去解決棘手的問題，讓學生學會分析理解這個復雜的世界的能力.

　　1年的對比教學實驗結束后，2個平行班采用統一試題進行考核，滿分設置為 100 分，結果雖然2個班的最高分在2班，但1班的平均成績 80.3，明顯高于2班的平均成績 71.5;且1班、2班的及格率分別為 95.3%，82.7%，差距也是十分明顯.由此可見，基于深度學習的混合式教學模式是有效可行的.