落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主題教學(xué)視角下的函數(shù)奇偶性學(xué)習(xí)難點(diǎn)分析

　　摘 要: 在《普通高中數(shù)學(xué)課件標(biāo)準(zhǔn)( 2017 年版) 解讀》中指出: “主題教學(xué)與單元教學(xué)、項(xiàng)目學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的含義一致，是相對(duì)課節(jié)教學(xué)而言的，就是從關(guān)注一節(jié)課、一節(jié)課的教學(xué)到關(guān)注想( 一個(gè)單元、一章、一個(gè)主題) 的教學(xué)。”主題教學(xué)是促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展的有效、實(shí)效、高效的教學(xué)方式和觀念的革新。對(duì)于主題教學(xué)從廣大一線教師的反饋來(lái)看，雖然可以理解原理，但是在具體的實(shí)施框架中難以形成具有核心視角的總體設(shè)計(jì)。

　　本文源自郭磊; 單銘鼎， 考試周刊 發(fā)表時(shí)間：2021-05-17 《考試周刊》雜志，于2007年經(jīng)國(guó)家新聞出版總署批準(zhǔn)正式創(chuàng)刊，CN:22-1381/G4，本刊在國(guó)內(nèi)外有廣泛的覆蓋面，題材新穎，信息量大、時(shí)效性強(qiáng)的特點(diǎn)，其中主要欄目有：藝術(shù)教學(xué)與研究、班級(jí)管理、幼教天地等。

　　關(guān)鍵詞: 核心; 教學(xué); 函數(shù)

　　函數(shù)奇偶性概念在函數(shù)內(nèi)容中處于核心地位，一直是教學(xué)研究的重點(diǎn)，然而在教學(xué)中多以單課時(shí)備課，教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)于傳統(tǒng)刻板，未見(jiàn)從主題教學(xué)視角創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)模式。

　　文章將函數(shù)奇偶性實(shí)際內(nèi)容作為載體，綜合本校改革實(shí)踐，以該課題概念理解難點(diǎn)為著眼點(diǎn)，立足主題教學(xué)視野進(jìn)行備課詮釋，總結(jié)設(shè)計(jì)、實(shí)施可行性做法，闡述采用主題教學(xué)手段破解學(xué)習(xí)難點(diǎn)的應(yīng)用要點(diǎn)。

　　一、函數(shù)奇偶性學(xué)習(xí)的難點(diǎn)及原因

　　學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性時(shí)都會(huì)有一定的感性認(rèn)識(shí)，但缺乏深度的理性認(rèn)識(shí)。首先學(xué)生對(duì)奇偶性概念中的“任意 x∈I，為什么要有，都有 - x∈I”難以獲得實(shí)質(zhì)性理解，其次是為什么要判斷 f( - x) = f( x) 與 f( - x) - f( x) = 0，再次是 f( - x) = f( x) 與 f( - x) - f( x) = 0 等等價(jià)定義的理解。

　　( 一) 沒(méi)有立足教學(xué)宏觀視角理解奇偶性本質(zhì)

　　收集教學(xué)參評(píng)課并對(duì)研究課視頻進(jìn)行資料解讀分析后，尋找此類教學(xué)文獻(xiàn)，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，教學(xué)設(shè)計(jì)多局限于單課時(shí)設(shè)計(jì)，未從宏觀維度對(duì)學(xué)習(xí)難點(diǎn)予以分解。教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行中概念理解不足，在第二課時(shí)的教學(xué)上，基本上是奇偶性相關(guān)考題的解題訓(xùn)練，與奇偶性概念理解實(shí)質(zhì)關(guān)系不大。

　　( 二) 學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的困難認(rèn)識(shí)不足

　　在函數(shù)奇偶性的教學(xué)中，多是高三教師剛剛送完畢業(yè)班，而學(xué)生是剛剛從初中升入高中，教師個(gè)人認(rèn)為的學(xué)生認(rèn)知水平和學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平有非常大的差異。實(shí)際上函數(shù)奇偶性的難點(diǎn)并非可通過(guò)單課時(shí)解決的問(wèn)題，想要初步理解，至少需要 2 ～ 3 個(gè)課時(shí)起步，即使如此也無(wú)法達(dá)到完全理解預(yù)期。甚至對(duì)于很多抽象函數(shù)奇偶性的證明，教師也難以給出完整的證明。

　　( 三) 對(duì)函數(shù)奇偶性的教育價(jià)值認(rèn)知缺陷

　　研讀教師訪談后可知，教師在此課程概念學(xué)習(xí)中對(duì)教育價(jià)值認(rèn)知存在缺陷，受此影響，上數(shù)學(xué)課思想方法滲透不足。而函數(shù)的奇偶性與數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)密切相關(guān)，更為密切的是直觀想象。在實(shí)際授課中，函數(shù)奇偶性是以邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性訴求為基本動(dòng)因形成定義，因此要求學(xué)生從直觀感知到理性符號(hào)證明，唯一的途徑就是通過(guò)邏輯論證加以確認(rèn)。

　　函數(shù)的奇偶性概念中蘊(yùn)含常量于變量、動(dòng)靜關(guān)系以及有限和無(wú)限等相關(guān)辯證思想，應(yīng)用概念應(yīng)對(duì)問(wèn)題，做出概念判斷、條件分析、問(wèn)題求解或證明相關(guān)奇偶性命題時(shí)，通常對(duì)直觀想象能力有要求，在直觀想象幫助下獲得思維啟示，做出相應(yīng)猜想。因此，在概念學(xué)習(xí)全周期，包括學(xué)習(xí)、理解、運(yùn)用等環(huán)節(jié)，應(yīng)明確基本思想，形成思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，輔助后續(xù)學(xué)習(xí)，應(yīng)鍛煉思維與思辨能力，提升數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理水平、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，這些素養(yǎng)也是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的重要載體。

　　( 四) 程序與技能缺少概念性解讀

　　本學(xué)科知識(shí)體系核心特點(diǎn)之一即為以概念、概念關(guān)系構(gòu)建體系，因此可將數(shù)學(xué)視為一門闡述概念關(guān)系的語(yǔ)言，然而傳統(tǒng)教學(xué)多側(cè)重事實(shí)性技能。在此學(xué)科教學(xué)中多側(cè)重解讀奇偶性定義，通過(guò)定義對(duì)奇偶性程序、技能進(jìn)行證明，造成學(xué)生對(duì)如何“做”過(guò)度關(guān)注，未能理解要這樣“做”的根本原因。雖然學(xué)生可從行為方面模仿例題進(jìn)行證明，但未必理解證明的操作程序如何成為證明。所以主題教學(xué)更能使學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)移到函數(shù)奇偶性概念的形成與發(fā)展上。

　　二、從主題教學(xué)維度整體解讀教學(xué)內(nèi)容是易化學(xué)生難點(diǎn)的有效途徑

　　主題教學(xué)重視教學(xué)的系統(tǒng)性，是立足課程整體來(lái)凝聚主題，以主題核心概念來(lái)聚合主題內(nèi)的各個(gè)知識(shí)，聚焦核心概念理解構(gòu)建核心問(wèn)題，圍繞核心問(wèn)題的研究展開(kāi)的教學(xué)活動(dòng)。

　　所謂的概念性視角，即通過(guò)關(guān)注概念來(lái)處理事實(shí)性知識(shí)。從一個(gè)概念的形成和發(fā)展過(guò)程看，概念是不能給予的，要在事實(shí)積累、辨別過(guò)程中形成，概念界定只可作為概念形成發(fā)展基礎(chǔ)。對(duì)概念學(xué)習(xí)理解持續(xù)深入過(guò)程，也是對(duì)概念認(rèn)知的思維固定模式“破”與 “立”過(guò)程中的螺旋式循環(huán)往復(fù)。

　　( 一) 初中學(xué)習(xí)為事實(shí)性層面

　　初中學(xué)習(xí)以后，學(xué)生認(rèn)知函數(shù)奇偶性的層面局限于直觀觀察現(xiàn)象，以此為基礎(chǔ)感知事實(shí)層面，未抵達(dá)概念層面。

　　( 二) 初、高中之間具有函數(shù)奇偶性的概念性理解層面

　　概念性思考即使用已有概念去概況性地界定描述事實(shí)。

　　( 三) 問(wèn)題是推動(dòng)概念發(fā)展的原動(dòng)力

　　初中對(duì) y = x 2 的直觀感知，是學(xué)生對(duì)對(duì)稱性的低層次理解，但為什么對(duì)稱是很多學(xué)生并不理解的，這個(gè)問(wèn)題是學(xué)生深入理解概念的原動(dòng)力，是從事實(shí)層面到概念層面的有效途徑。

　　( 四) 理解“任意”背后的思維觀念

　　只有在對(duì)變化過(guò)程中描述兩個(gè)取值狀態(tài)，并非函數(shù)變化的過(guò)程。基于此原因應(yīng)促使兩個(gè)取值狀態(tài)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，進(jìn)而確保對(duì)函數(shù)變化中任一組取值狀態(tài)進(jìn)行解讀，因此要求賦予取值存在任意性。“任意” 促使自變量取值運(yùn)動(dòng)，在研究集合中每一組數(shù)值運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)變化的完整描述。

　　三、函數(shù)奇偶性把握多元化視角

　　( 一) 立足上下位的概念體系

　　想要理解函數(shù)奇偶性，應(yīng)以函數(shù)性質(zhì)為范疇進(jìn)行，同時(shí)理解函數(shù)性質(zhì)理解應(yīng)以函數(shù)的范疇為基礎(chǔ)，函數(shù)概念應(yīng)從數(shù)量關(guān)系范疇中加以解讀。

　　( 二) 從函數(shù)關(guān)系中把握奇偶性

　　函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)即為函數(shù)變化規(guī)律。分析從變量與關(guān)系等基本概念，以其為起點(diǎn)可深入認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)。研究函數(shù)變化規(guī)律皆將明確自變量范圍當(dāng)作前提條件，這一點(diǎn)取決于研究對(duì)象的基本屬性。

　　( 三) 從函數(shù)性質(zhì)角度學(xué)習(xí)奇偶性

　　函數(shù)性質(zhì)實(shí)際為函數(shù)關(guān)系中兩變量屬性特點(diǎn)聯(lián)系。f( - x) = f( x) 與 f( - x) - f( x) = 0 即函數(shù)奇偶性可轉(zhuǎn)化自變量與函數(shù)值大小關(guān)系。假設(shè)從高中課程全局分析，這一本質(zhì)表達(dá)存在更深刻內(nèi)涵，從“相等” 的形式可與“差”或“和”的概念產(chǎn)生聯(lián)系。

　　( 四) 立足數(shù)學(xué)精神、思想層面學(xué)習(xí)奇偶性概念

　　數(shù)學(xué)對(duì)象研究通常以定性的認(rèn)識(shí)為起點(diǎn)，最終深入到定量精細(xì)化分析，此為數(shù)學(xué)精神。

　　四、主題教學(xué)方案設(shè)計(jì)，易化學(xué)習(xí)難點(diǎn)

　　( 一) 凝練主題，明確核心問(wèn)題

　　設(shè)計(jì)主題“探索函數(shù)的變化規(guī)律”，以“自變量 x 發(fā)生變化時(shí)函數(shù)值 f( x) 由其引起的變化”為核心問(wèn)題設(shè)計(jì)主題課程。

　　( 二) “探索函數(shù)的變化規(guī)律”主題教學(xué)設(shè)計(jì)

　　主題: 分析函數(shù)變化規(guī)律。明確核心問(wèn)題: 自變量 x 的發(fā)生變化時(shí)將引起函數(shù)值 f( x) 的變化表現(xiàn)。子主題設(shè)計(jì)為: 單調(diào)性、奇偶性、最值、零點(diǎn)、周期性、變化率、極值、漸進(jìn)性。函數(shù)零點(diǎn)概念未研究自變量取值“任意性”，其他皆予以研究，因而‘任意性’理解難點(diǎn)被分解，在其他子主題中分散研究。所述子主題貫穿高一、高二階段，此外與“任意”理解相關(guān)課程也較多。

　　( 三) 函數(shù)奇偶性主題教學(xué)的活動(dòng)設(shè)計(jì)

　　子主題課時(shí)規(guī)劃: 函數(shù)奇偶性概念的形成與理解

　　第一課時(shí): 形成奇偶性概念并獲得初步理解

　　直觀化的描述性定義 形式化定量刻畫(huà)定義運(yùn)用概念證明奇偶性

　　第二課時(shí): 覺(jué)察概念理解的局限性，修正完善概念理解

　　厘清奇偶性概念中的兩變量的關(guān)系 理解自 →?zhàn)兞咳≈档?ldquo;任意性”的本質(zhì)

　　第一課時(shí)具體教學(xué)活動(dòng)框架:

　　①觀察函數(shù)的變化規(guī)律: 體驗(yàn)函數(shù)的原初價(jià)值; ②聚焦并描述定義奇偶性; ③尋求奇偶性的理性判斷與理解: 以問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)描述性定義的局限性，認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值取向，邏輯確認(rèn); ④形式化定義奇偶性: 讓不可見(jiàn)變?yōu)榭梢?jiàn)，實(shí)現(xiàn)判斷的算法化; ⑤用奇偶性概念證明: 運(yùn)用概念，解決問(wèn)題。

　　第二課時(shí)具體教學(xué)活動(dòng)框架:

　　①奇偶性概念回顧: 解釋奇偶性是什么? 從形成定義的過(guò)程認(rèn)識(shí)到什么? 其價(jià)值與意義是什么? ②用奇偶性做一些以前不能做的事情: 聚焦難點(diǎn)設(shè)計(jì)多項(xiàng)挑戰(zhàn)性任務(wù); 函數(shù)奇偶性概念的深化理解: 積累形成用奇偶性定義思考的經(jīng)驗(yàn)，感悟函數(shù)奇偶性新認(rèn)識(shí)帶來(lái)的諸多價(jià)值。

　　( 四) 主題教學(xué)事實(shí)

　　在主題教學(xué)中，應(yīng)體現(xiàn)教師的紐帶作用，將學(xué)生經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)聯(lián)結(jié)主題知識(shí)系統(tǒng)，成為橋梁，應(yīng)著眼核心概念理解，對(duì)主題核心問(wèn)題加以凝練，同時(shí)選擇具體適當(dāng)情境進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)學(xué)習(xí)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的多層組織與發(fā)展。

　　在此過(guò)程中應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn): ①?gòu)膶W(xué)生既往經(jīng)驗(yàn)出發(fā)設(shè)情境、提問(wèn)題; ②要促進(jìn)知識(shí)的價(jià)值認(rèn)同; ③在活動(dòng)中要先“察”而“后”行; ④教師應(yīng)聚焦學(xué)生理解層面認(rèn)知誤區(qū)和相關(guān)觀點(diǎn)，舉辦辯論與解釋活動(dòng); ⑤組織關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)問(wèn)題群體討論。

　　主題教學(xué)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心的有效手段，是提升數(shù)學(xué)能力的有效方式，面對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂和新高考的改革，以主題教學(xué)為核心的創(chuàng)新性教學(xué)方式必將起到更大的作用。